alo alo giúp e với

Câu 1: Ta có: \[ M = \cos2x\cos x + \sin2x\sin x \] Sử dụng công thức cộng góc cho cosin: \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \] Áp dụng công thức này với \( a = 2x \) và \( b = x \): \[ \cos(2x - x) = \cos2x \cos x + \sin2x \sin x \] \[ \cos x = \cos2x \cos x + \sin2x \sin x \] Do đó: \[ M = \cos x \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~M=\cos x \] Câu 2: Để rút gọn biểu thức \(\cos(120^\circ - x) + \cos(120^\circ + x) - \cos x\), chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng góc cho cosin. 1. Áp dụng công thức cộng góc: \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \] \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] 2. Thay \(a = 120^\circ\) và \(b = x\) vào các công thức trên: \[ \cos(120^\circ - x) = \cos 120^\circ \cos x + \sin 120^\circ \sin x \] \[ \cos(120^\circ + x) = \cos 120^\circ \cos x - \sin 120^\circ \sin x \] 3. Biết rằng \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\) và \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ \cos(120^\circ - x) = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \] \[ \cos(120^\circ + x) = -\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \] 4. Cộng hai biểu thức trên: \[ \cos(120^\circ - x) + \cos(120^\circ + x) = \left(-\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right) + \left(-\frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x\right) \] \[ = -\frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \] \[ = -\cos x \] 5. Cuối cùng, trừ \(\cos x\) từ kết quả trên: \[ \cos(120^\circ - x) + \cos(120^\circ + x) - \cos x = -\cos x - \cos x = -2\cos x \] Vậy kết quả là: \[ -2\cos x \] Đáp án đúng là: \( C. -2\cos x \). Câu 3: Để tìm giá trị của biểu thức \(\sin(a+b)\), ta sử dụng công thức cộng góc: \[ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] Ta đã biết \(\sin a = \frac{5}{13}\) và \(\cos b = \frac{3}{5}\). Bước 1: Tìm \(\cos a\) Vì \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), nên \(a\) thuộc góc phần tư thứ hai, do đó \(\cos a < 0\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Thay \(\sin a = \frac{5}{13}\) vào, ta có: \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{25}{169} + \cos^2 a = 1 \] \[ \cos^2 a = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] \[ \cos a = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \] Bước 2: Tìm \(\sin b\) Vì \(0 < b < \frac{\pi}{2}\), nên \(b\) thuộc góc phần tư thứ nhất, do đó \(\sin b > 0\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[ \sin^2 b + \cos^2 b = 1 \] Thay \(\cos b = \frac{3}{5}\) vào, ta có: \[ \sin^2 b + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 b + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2 b = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin b = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Bước 3: Tính \(\sin(a+b)\) Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] \[ = \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} + \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \frac{4}{5} \] \[ = \frac{15}{65} - \frac{48}{65} \] \[ = \frac{15 - 48}{65} = \frac{-33}{65} \] Vậy, kết quả của biểu thức \(\sin(a+b)\) là \(\frac{-33}{65}\). Đáp án đúng là D. \(\frac{-33}{65}\). Câu 4: Ta sẽ kiểm tra từng công thức để tìm ra công thức sai. A. $\cos6a = \cos^23a - \sin^23a$ Sử dụng công thức $\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$, ta có: $\cos6a = \cos(2 \cdot 3a) = \cos^23a - \sin^23a$ Vậy công thức A đúng. B. $\cos6a = 1 - 2\sin^23a$ Sử dụng công thức $\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$, ta có: $\cos6a = \cos(2 \cdot 3a) = 1 - 2\sin^23a$ Vậy công thức B đúng. C. $\cos6a = 1 - 6\sin^2a$ Sử dụng công thức $\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$, ta có: $\cos6a = \cos(2 \cdot 3a) = 1 - 2\sin^23a$ Tuy nhiên, công thức này không thể viết thành $1 - 6\sin^2a$ vì $3a$ không phải là $a$. Vậy công thức C sai. D. $\cos6x = 2\cos^33a - 1$ Sử dụng công thức $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$, ta có: $\cos6x = \cos(2 \cdot 3x) = 2\cos^33x - 1$ Tuy nhiên, trong công thức D, biến số là $a$ thay vì $x$, nên công thức này cũng sai. Vậy công thức sai là C. $\cos6a = 1 - 6\sin^2a$. Câu 5: Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức để tìm ra đẳng thức nào không đúng với mọi \( x \). Kiểm tra đẳng thức A: \[ \cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2} \] Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \] Thay \( \theta = 3x \): \[ \cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2} \] Đẳng thức này đúng với mọi \( x \). Kiểm tra đẳng thức B: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] Sử dụng công thức biến đổi góc đôi: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] Đẳng thức này đúng với mọi \( x \). Kiểm tra đẳng thức C: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Sử dụng công thức biến đổi góc đôi: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Đẳng thức này đúng với mọi \( x \). Kiểm tra đẳng thức D: \[ \sin^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2} \] Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \] Thay \( \theta = 2x \): \[ \sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2} \] Như vậy, đẳng thức này sai vì dấu cộng trong tử số phải là dấu trừ. Do đó, đẳng thức không đúng với mọi \( x \) là: \[ \boxed{D} \] Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến \(\sin x\) và \(\cos x\). Cho \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\). Bước 1: Bình phương cả hai vế của phương trình: \[ (\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \] Bước 2: Mở rộng vế trái: \[ \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{4} \] Bước 3: Sử dụng công thức \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\): \[ 1 + 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} \] Bước 4: Giải phương trình để tìm \(2\sin x \cos x\): \[ 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} - 1 \] \[ 2\sin x \cos x = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} \] \[ 2\sin x \cos x = -\frac{3}{4} \] Bước 5: Nhận biết rằng \(2\sin x \cos x = \sin 2x\): \[ \sin 2x = -\frac{3}{4} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{-3}{4} \]