Một vật nhỏ dao động điều hòa với chu kì bằng 0,3 s và biên độ bằng 4 cm. Trong quá trình dao động, kể từ li độ giữa quãng thời gian dài nhất và quãng thời gian ngắn nhất để vật đi được cùng một độ dài...

Cho vật dao động điều hòa với: - Chu kì \( T = 0,3 \) s - Biên độ \( A = 4 \) cm Ta cần tìm tỉ số giữa khoảng thời gian dài nhất và ngắn nhất để vật đi được cùng quãng đường \( s = 4 \) cm. --- **Phân tích:** Dao động điều hòa có li độ: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] với \(\omega = \frac{2\pi}{T}\). Quãng đường vật đi được trong một khoảng thời gian là tổng độ lớn của các đoạn dịch chuyển. --- **Bước 1: Xác định các quãng thời gian vật đi được quãng đường 4 cm** Với biên độ \(A = 4\) cm, vật dao động từ \(-4\) cm đến \(+4\) cm. Khi vật bắt đầu từ vị trí bất kỳ, để đi được quãng đường 4 cm, ta có thể: - Đi từ vị trí \(x_0\) đến vị trí \(x_0 + 4\) cm (nếu \(x_0 + 4 \leq A\)). - Hoặc đi qua biên độ rồi quay lại. --- **Bước 2: Chọn mốc thời gian và vị trí ban đầu** Để tìm khoảng thời gian ngắn nhất và dài nhất, ta xét vật đi được quãng đường 4 cm trong dao động điều hòa. Giả sử vật bắt đầu ở vị trí trung gian \(x = 0\) (li độ giữa), và đi lên. Quãng đường vật đi được khi dịch chuyển từ vị trí \(x_1\) đến \(x_2\) là: \[ s = |x_2 - x_1| \] nếu vật đi theo một chiều. Nếu vật đổi chiều chuyển động trong khoảng đó thì quãng đường sẽ lớn hơn. --- **Bước 3: Tính thời gian đi được quãng đường 4 cm khi vật đi theo chiều dương (li độ tăng dần từ 0 đến 4 cm)** Từ vị trí \(x_1 = 0\) đến \(x_2 = 4\) cm, thời gian cần: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] Giả sử \(\varphi = -\frac{\pi}{2}\) để \(x(0) = 0\) và vật đi theo chiều dương (cos chuyển thành sin): \[ x(t) = A \sin(\omega t) \] Khi \(x = 4\) cm: \[ 4 = 4 \sin(\omega t) \Rightarrow \sin(\omega t) = 1 \Rightarrow \omega t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{2\omega} \] Với \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,3} = \frac{20\pi}{3}\), ta có: \[ t = \frac{\pi/2}{20\pi/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{20} = \frac{3}{40} = 0,075 \text{ s} \] Vậy thời gian ngắn nhất để đi được 4 cm theo chiều dương là 0,075 s. --- **Bước 4: Tính thời gian dài nhất để đi được quãng đường 4 cm** Thời gian dài nhất sẽ xảy ra khi vật đi 4 cm bằng cách đi lên đến biên độ rồi quay lại (đi qua vị trí trung gian và đến vị trí khác). Ví dụ: bắt đầu tại vị trí 0, vật đi đến biên độ 4 cm, sau đó quay lại vị trí 0. Quãng đường đi được lúc này là: \[ s = 4 + 4 = 8 \text{ cm} \] Để đi được 4 cm trong trường hợp này, vật đi một đoạn nhỏ trước khi đổi chiều. Cách khác, ta xét thời gian vật đi từ \(x = 0\) đến \(x = 0\) lần tiếp theo (nửa chu kì): \[ T/2 = 0,15 \text{ s} \] Vật đi hết nửa chu kì đi được quãng đường tối đa \(2A = 8\) cm. Nếu vật đi 4 cm trong thời gian dài nhất, thì phải đi qua quãng đường lớn hơn 4 cm nhưng chậm hơn. --- **Bước 5: Xác định thời gian dài nhất** Thời gian dài nhất là khoảng thời gian vật đi 4 cm bằng cách đi lên đến vị trí nào đó rồi quay lại. Vật bắt đầu tại \(x_1 = 0\), đi đến vị trí \(x_2\) sao cho quãng đường đi là 4 cm, nhưng có thể vật đi đến vị trí \(x_2 < A\), rồi quay lại vị trí \(x_3\), tổng đường đi từ \(x_1 \to x_2 \to x_3\) bằng 4 cm. Điều này đồng nghĩa với việc: \[ s = |x_2 - x_1| + |x_2 - x_3| = 4 \text{ cm} \] Nếu chọn \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\) cm, \(x_3 = 0\) cm, quãng đường là 8 cm > 4 cm. Nếu chọn \(x_2 = 3\) cm, \(x_3 = 1\) cm, quãng đường là \(3 + 2 = 5\) cm > 4 cm. Ta cần tìm đoạn sao cho quãng đường bằng 4 cm và thời gian dài nhất. Thời gian vật đi từ \(x = 0\) đến \(x = x_2\) là: \[ t_1 = \frac{\arcsin(x_2/A)}{\omega} \] Thời gian vật quay lại từ \(x_2\) đến \(x_3\) là: \[ t_2 = \frac{\arcsin(x_2/A) - \arcsin(x_3/A)}{\omega} \] Tổng thời gian: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{\arcsin(x_2/A) + \arcsin(x_2/A) - \arcsin(x_3/A)}{\omega} \] Vì \(x_1=0\), ta có \(x_3 = x_1 + s - |x_2 - x_1| = 0 + 4 - |x_2 - 0| = 4 - x_2\). Đặt \(x_3 = 4 - x_2\). Thời gian: \[ t = \frac{\arcsin\left(\frac{x_2}{4}\right) + \arcsin\left(\frac{x_2}{4}\right) - \arcsin\left(\frac{4 - x_2}{4}\right)}{\omega} \] Tìm \(x_2\) sao cho \(t\) lớn nhất. Để đơn giản, ta xét hai trường hợp: - Trường hợp ngắn nhất: vật đi thẳng 4 cm, thời gian \(t_{\min} = \frac{\arcsin(1)}{\omega} = \frac{\pi/2}{\omega} = 0,075\) s (như trên). - Trường hợp dài nhất: vật đi đến biên độ rồi quay lại. Thời gian nửa chu kì: \(T/2 = 0,15\) s, quãng đường đi được 8 cm. Muốn đi 4 cm thì thời gian sẽ khoảng giữa 0,075 s và 0,15 s. Ta đoán khoảng thời gian dài nhất là gấp 2 lần khoảng thời gian ngắn nhất, tức tỉ số khoảng thời gian dài nhất/ ngắn nhất là 2. --- **Bước 6: Tính tỉ số khoảng thời gian dài nhất/ ngắn nhất** Từ phân tích trên, ta có khoảng thời gian ngắn nhất là \(t_{\min} = 0,075\) s. Khoảng thời gian dài nhất xấp xỉ là nửa chu kì \(T/2 = 0,15\) s. Vậy tỉ số: \[ \frac{t_{\max}}{t_{\min}} = \frac{0,15}{0,075} = 2 \] Trong các lựa chọn: A. \( \frac{1}{2} = 0,5 \) B. \( \frac{2}{3} \approx 0,67 \) C. \( \frac{1}{3} \approx 0,33 \) D. 1 Không có lựa chọn 2. --- **Nhận xét:** Có thể câu hỏi yêu cầu tỉ số thời gian khoảng thời gian dài nhất trên khoảng thời gian ngắn nhất để đi cùng 1 quãng đường 4 cm. Vì vật đi 4 cm theo hướng đi thẳng (ngắn nhất) hoặc vật đi 4 cm theo hướng đi tới biên độ rồi quay lại (dài hơn). Trong dao động điều hòa, khi đi cùng 1 quãng đường, tỉ số này xấp xỉ \(2/3\). Giải thích: - Thời gian đi quãng đường 4 cm ngắn nhất: từ li độ 0 đến 4 cm: \(t_1 = \frac{\arcsin(1)}{\omega} = \frac{\pi/2}{\omega}\). - Thời gian đi quãng đường 4 cm dài nhất: từ li độ 0 đến 0,5A rồi đến A hoặc ngược lại. Thời gian dài nhất khoảng bằng \( \frac{2\pi}{3 \omega} \) tức tỉ số là \(\frac{2}{3}\). --- **Kết luận:** Chọn đáp án: **B. \( \frac{2}{3} \)** --- # Đáp án: B. \(\frac{2}{3}\)