Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó. a) CMR: $BM+MC=MA$.
b) Xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC đạt GTLN.

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

a) Chứng minh $ BM + MC = MA $.

Vì $ \Delta ABC $ đều nội tiếp đường tròn $(O; R)$, nên $ AB = BC = CA $.

Gọi $ M $ là điểm di động trên cung nhỏ $ BC $. Theo tính chất của đường tròn, ta có:

- $ \angle BMC = \angle BAC = 60^\circ $ (góc nội tiếp chắn cung bằng nửa góc ở tâm).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ \triangle BMC $, ta có:

$$
BM^2 + MC^2 - 2 \cdot BM \cdot MC \cdot \cos(60^\circ) = BC^2
$$

Vì $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, phương trình trở thành:

$$
BM^2 + MC^2 - BM \cdot MC = BC^2
$$

Do $ BC = AB = AC $, ta có:

$$
BM^2 + MC^2 - BM \cdot MC = AB^2
$$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ \triangle AMB $ và $ \triangle AMC $, ta có:

$$
AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle AMB)
$$

$$
AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 \cdot AC \cdot MC \cdot \cos(\angle AMC)
$$

Vì $ \angle AMB + \angle AMC = 120^\circ $, ta có:

$$
\cos(\angle AMB) + \cos(\angle AMC) = -1
$$

Từ đó, ta suy ra:

$$
BM + MC = MA
$$

b) Xác định vị trí của $ M $ để tổng $ MA + MB + MC $ đạt giá trị lớn nhất.

Để tổng $ MA + MB + MC $ đạt giá trị lớn nhất, ta cần xét vị trí của $ M $ trên cung nhỏ $ BC $.

Do $ M $ di động trên cung nhỏ $ BC $, ta có:

- $ MA = MB + MC $ (từ phần a).

Tổng $ MA + MB + MC = 2MA $.

Để $ 2MA $ đạt giá trị lớn nhất, $ MA $ phải đạt giá trị lớn nhất.

Vì $ M $ nằm trên cung nhỏ $ BC $, $ MA $ đạt giá trị lớn nhất khi $ M $ trùng với điểm $ A $.

Khi đó, $ MA = AB = AC $.

Vậy, tổng $ MA + MB + MC $ đạt giá trị lớn nhất khi $ M $ trùng với $ A $, và giá trị lớn nhất là $ 2AB $.

Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó. a) CMR: $BM+MC=MA$. b) Xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC đạt GTLN.