giup voiikkkk

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính BC, AC, BH 1. Tính AC: Ta có tam giác ABC vuông tại A, với $\cos\widehat{ABC} = \frac{3}{5}$. Theo định nghĩa của cosin trong tam giác vuông, ta có: \[ \cos\widehat{ABC} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} \] Do đó, $BC = \frac{AB}{\cos\widehat{ABC}} = \frac{6}{\frac{3}{5}} = 10~cm$. 2. Tính AC: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có: \[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8~cm \] 3. Tính BH: Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH chia BC thành hai đoạn BH và HC. Ta có: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] Thay số vào, ta có: \[ 6^2 = BH \cdot 10 \Rightarrow 36 = 10 \cdot BH \Rightarrow BH = \frac{36}{10} = 3.6~cm \] b) Chứng minh $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ 1. Xét tam giác vuông ADH và AEH: - Trong tam giác vuông ADH, ta có $AD = AH \cdot \tan\widehat{DAH}$. - Trong tam giác vuông AEH, ta có $AE = AH \cdot \tan\widehat{EAH}$. 2. Sử dụng tính chất của đường cao AH: - Ta có $AH^2 = AD \cdot AE$ (tính chất của đường cao trong tam giác vuông). 3. Chứng minh: - Từ $AH^2 = AD \cdot AE$, ta có: \[ AD \cdot AE = AH^2 \] - Mặt khác, từ tam giác vuông ABC, ta có: \[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \] - Thay $AH$ vào phương trình $AD \cdot AE = AH^2$, ta có: \[ AD \cdot AE = \left(\frac{AB \cdot AC}{BC}\right)^2 \] - Do đó, $AD \cdot AB = AE \cdot AC$ là đúng vì: \[ AD \cdot AB = \frac{AB \cdot AC}{BC} \cdot AB = \frac{AB^2 \cdot AC}{BC} \] \[ AE \cdot AC = \frac{AB \cdot AC}{BC} \cdot AC = \frac{AB \cdot AC^2}{BC} \] - Từ đó, ta có $AD \cdot AB = AE \cdot AC$. Vậy, ta đã chứng minh được $AD \cdot AB = AE \cdot AC$.