Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau một góc 60°, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của EF. CMR: $\frac{EF}{AB}=\sqrt{3}$.

Question

Accepted Answer

{"userId":5045803,"userName":"minhthu_"}

Trước hết, ta phân tích các yếu tố đã cho:

Đường tròn (O)
(O) có đường kính AB
AB. Do đó, A,B
A,B nằm trên đường tròn.
Ax
Ax và Ay
Ay là hai tia xuất phát từ A
A, nằm về hai phía của AB
AB và luôn tạo với nhau một góc 60∘
60∘
.
M
M là giao điểm của tia Ax
Ax với đường tròn (O)
(O) (khác A
A).
N
N là giao điểm của tia Ay
Ay với đường tròn (O)
(O) (khác A
A).
Vì AB
AB là đường kính, các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông: ∠AMB=90∘
∠AMB=90∘
và ∠ANB=90∘
∠ANB=90∘
.
Đường thẳng BN
BN cắt tia Ax
Ax (tức là AE
AE) tại E
E.
Đường thẳng BM
BM cắt tia Ay
Ay (tức là AF
AF) tại F
F.
K
K là trung điểm của EF
EF.
Cần chứng minh EFAB=3
AB
EF
=3
.

Xét △AMB

△AMB, vuông tại M

M. Ta có ∠BAM

∠BAM là góc nhọn.

Xét △ANB

△ANB, vuông tại N

N. Ta có ∠BAN

∠BAN là góc nhọn.

Theo đề bài, tia Ax

Ax và Ay

Ay luôn tạo với nhau một góc 60∘

60∘

và nằm về hai phía của AB

AB. Điều này có nghĩa là góc giữa hai tia AM

AM và AN

AN là 60∘

60∘

.

Ta có thể đặt ∠BAM=α

∠BAM=α và ∠BAN=β

∠BAN=β. Vì Ax

Ax và Ay

Ay nằm về hai phía của AB

AB, và tạo góc 60∘

60∘

, góc giữa hai tia AM

AM và AN

AN là 60∘

60∘

.

Có hai trường hợp về quan hệ giữa α

α và β

β để ∠MAN=60∘

∠MAN=60∘

:

Trường hợp 1: ∠MAN=∠BAM+∠BAN=α+β=60∘
∠MAN=∠BAM+∠BAN=α+β=60∘
.
Trường hợp 2: ∠MAN=∣∠BAM−∠BAN∣=∣α−β∣=60∘
∠MAN=∣∠BAM−∠BAN∣=∣α−β∣=60∘
. Tuy nhiên, với cách dựng tia Ax và Ay "tạo với nhau một góc 60∘
60∘
" và "nằm về hai phía của AB", trường hợp α+β=60∘
α+β=60∘
là hợp lý. Nếu giả sử AB
AB nằm trên trục hoành, tia Ax
Ax có thể có một góc dương α
α so với AB
AB và tia Ay
Ay có một góc âm −β
−β (hoặc ngược lại) sao cho α−(−β)=60∘
α−(−β)=60∘
hoặc α+β=60∘
α+β=60∘
.

Ta xét △ABE

△ABE và △ABF

△ABF.

Trong △AMB

△AMB vuông tại M

M, ta có:

AM=ABcos⁡(∠BAM)=ABcos⁡α

AM=ABcos(∠BAM)=ABcosα

BM=ABsin⁡(∠BAM)=ABsin⁡α

BM=ABsin(∠BAM)=ABsinα

Trong △ANB

△ANB vuông tại N

N, ta có:

AN=ABcos⁡(∠BAN)=ABcos⁡β

AN=ABcos(∠BAN)=ABcosβ

BN=ABsin⁡(∠BAN)=ABsin⁡β

BN=ABsin(∠BAN)=ABsinβ

Xét tam giác ABE

ABE. Điểm M

M nằm trên AE

AE. ∠AMB=90∘

∠AMB=90∘

.

Ta có ∠ABE=∠ABN

∠ABE=∠ABN.

Trong △ABN

△ABN vuông tại N

N, ∠ABN=90∘−∠BAN=90∘−β

∠ABN=90∘

−∠BAN=90∘

−β.

Do đó, ∠ABE=90∘−β

∠ABE=90∘

−β.

Trong △ABE

△ABE, ∠BAE=α

∠BAE=α.

∠AEB=180∘−∠BAE−∠ABE=180∘−α−(90∘−β)=90∘−α+β

∠AEB=180∘

−∠BAE−∠ABE=180∘

−α−(90∘

−β)=90∘

−α+β.

Xét tam giác ABF

ABF. Điểm N

N nằm trên AF

AF. ∠ANB=90∘

∠ANB=90∘

.

Ta có ∠ABF=∠ABM

∠ABF=∠ABM.

Trong △AMB

△AMB vuông tại M

M, ∠ABM=90∘−∠BAM=90∘−α

∠ABM=90∘

−∠BAM=90∘

−α.

Do đó, ∠ABF=90∘−α

∠ABF=90∘

−α.

Trong △ABF

△ABF, ∠BAF=β

∠BAF=β.

∠AFB=180∘−∠BAF−∠ABF=180∘−β−(90∘−α)=90∘+α−β

∠AFB=180∘

−∠BAF−∠ABF=180∘

−β−(90∘

−α)=90∘

+α−β.

Ta đang giả sử α+β=60∘

α+β=60∘

.

Khi đó, β=60∘−α

β=60∘

−α.

∠AEB=90∘−α+(60∘−α)=150∘−2α

∠AEB=90∘

−α+(60∘

−α)=150∘

−2α.

∠AFB=90∘+α−(60∘−α)=30∘+2α

∠AFB=90∘

+α−(60∘

−α)=30∘

+2α.

Tổng hai góc này: ∠AEB+∠AFB=(150∘−2α)+(30∘+2α)=180∘

∠AEB+∠AFB=(150∘

−2α)+(30∘

+2α)=180∘

. Điều này cho thấy E,K,F

E,K,F có thể thẳng hàng. Tuy nhiên, K là trung điểm của EF, và ta cần tính EF.

Bây giờ, ta tính độ dài AE

AE và AF

AF dựa trên △ABE

△ABE và △ABF

△ABF.

Trong △ABE

△ABE:

AE=ABsin⁡(∠ABE)sin⁡(∠AEB)=ABsin⁡(90∘−β)sin⁡(90∘−α+β)=ABcos⁡βsin⁡(90∘−(α−β))=ABcos⁡βcos⁡(α−β)

AE=ABsin(∠AEB)

sin(∠ABE)

=ABsin(90∘

−α+β)

sin(90∘

−β)

=ABsin(90∘

−(α−β))

cosβ

=ABcos(α−β)

cosβ

.

(Nếu α+β=60∘

α+β=60∘

, thì α−β=α−(60∘−α)=2α−60∘

α−β=α−(60∘

−α)=2α−60∘

. Hoặc α−β=(60∘−β)−β=60∘−2β

α−β=(60∘

−β)−β=60∘

−2β. Cần cẩn thận với α−β

α−β).

Hãy thử xét một trường hợp đặc biệt để kiểm tra. Giả sử tia Ax

Ax trùng với tia AB

AB. Khi đó M=A

M=A. Nhưng M

M là giao điểm với đường tròn khác A

A. Vậy Ax

Ax không thể trùng AB

AB.

Giả sử AB

AB nằm ngang. Ax

Ax đi lên trên một góc α

α và Ay

Ay đi xuống dưới một góc β

β. α+β=60∘

α+β=60∘

.

∠BAM=α

∠BAM=α, ∠BAN=β

∠BAN=β.

AM=ABcos⁡α

AM=ABcosα, BM=ABsin⁡α

BM=ABsinα.

AN=ABcos⁡β

AN=ABcosβ, BN=ABsin⁡β

BN=ABsinβ.

Trong △ABE

△ABE, ∠EAB=α

∠EAB=α. ∠ABE=∠ABN=90∘−β

∠ABE=∠ABN=90∘

−β.

∠AEB=180∘−α−(90∘−β)=90∘−α+β

∠AEB=180∘

−α−(90∘

−β)=90∘

−α+β.

AE=ABsin⁡(90∘−β)sin⁡(90∘−α+β)=ABcos⁡βcos⁡(α−β)

AE=ABsin(90∘

−α+β)

sin(90∘

−β)

=ABcos(α−β)

cosβ

.

Trong △ABF

△ABF, ∠FAB=β

∠FAB=β. ∠ABF=∠ABM=90∘−α

∠ABF=∠ABM=90∘

−α.

∠AFB=180∘−β−(90∘−α)=90∘+α−β

∠AFB=180∘

−β−(90∘

−α)=90∘

+α−β.

AF=ABsin⁡(90∘−α)sin⁡(90∘+α−β)=ABcos⁡αcos⁡(β−α)

AF=ABsin(90∘

+α−β)

sin(90∘

−α)

=ABcos(β−α)

cosα

.

Lưu ý cos⁡(α−β)=cos⁡(β−α)

cos(α−β)=cos(β−α).

Ta có ∠MAN=60∘

∠MAN=60∘

.

Vì M

M và N

N nằm trên đường tròn, A

A cũng trên đường tròn, ∠MAN=60∘

∠MAN=60∘

là góc nội tiếp chắn cung MN

MN.

Do đó, góc ở tâm chắn cung MN

MN là ∠MON

∠MON.

Nếu A

A nằm trên cung lớn MN

MN, thì ∠MON=2∠MAN=2×60∘=120∘

∠MON=2∠MAN=2×60∘

=120∘

.

Nếu A

A nằm trên cung nhỏ MN

MN, thì ∠MON=2(180∘−∠MAN)=2(180∘−60∘)=240∘

∠MON=2(180∘

−∠MAN)=2(180∘

−60∘

)=240∘

(góc tù).

Thông thường, ta xét góc nhỏ hơn, nên ∠MON=120∘

∠MON=120∘

.

Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau một góc 60°, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường th...