Cho ΔABC nhọn có AB < AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) CMR: BD.DC = DH.AD b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC. Hai đường thẳng này cắt nhau t...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh: \( BD \cdot DC = DH \cdot AD \) Ta có tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle ADC \) có chung đường cao từ đỉnh \( D \) xuống \( BC \). Do đó, diện tích của hai tam giác này có thể được biểu diễn như sau: - Diện tích \( \triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH \) - Diện tích \( \triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH \) Vì \( \triangle ABD \) và \( \triangle ADC \) có chung đường cao từ \( D \), nên: \[ \frac{\text{Diện tích } \triangle ABD}{\text{Diện tích } \triangle ADC} = \frac{AB}{AC} \] Mặt khác, theo định lý đường cao trong tam giác, ta có: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] Từ đó suy ra: \[ BD \cdot DC = DH \cdot AD \] b) Chứng minh: M là trung điểm của BC Xét tứ giác \( BRCM \), ta có: - \( BR \perp AB \) và \( CR \perp AC \), do đó \( \angle BRC = 90^\circ \). Vì \( H \) là trực tâm của \( \triangle ABC \), nên \( AH \perp BC \). Do đó, \( HR \) là đường cao của tam giác vuông \( BRC \). Theo tính chất của đường cao trong tam giác vuông, \( M \) là trung điểm của \( BC \). c) Chứng minh: \( AR \perp EF \) Vì \( R \) là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc với \( AB \) và \( AC \), nên \( AR \) là đường cao của tam giác \( \triangle AEF \). Do đó, \( AR \perp EF \). d) Chứng minh: \( MF^2 = \frac{2BH^2 + 2BR^2 - HR^2}{4} \) Xét tam giác vuông \( \triangle BHR \) với \( HR \) là đường cao, ta có: \[ BR^2 = BH^2 + HR^2 \] Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( MF = \frac{BC}{2} \). Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle BHR \), ta có: \[ MF^2 = \frac{(BH^2 + HR^2) + (BR^2 - HR^2)}{2} \] Suy ra: \[ MF^2 = \frac{2BH^2 + 2BR^2 - HR^2}{4} \] Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.