Giúp em với aaaaa

Câu 7: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 10x^2 - 4 \) trên đoạn \([0; 9]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 4x^3 - 20x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 20x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 5) = 0 \] \[ 4x^2+4x+1=0 \] \end{document} Câu 8: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 12x^2 - 4 \) trên đoạn \([0; 9]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 12x^2 - 4) = 4x^3 - 24x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 12x^2 + 9 = 0 \] \[ 4x^3 - 12x^2 + 9x = 0 \] \[ 4x^2 - 12x + 9 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai với biến \( y = x^2 \): \[ 4y^2 - 12y + 9 = 0 \] Giải phương trình này: \[ y = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8} = \frac{12 \pm 0}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \] Vậy \( y = \frac{3}{2} \), tức là \( x^2 = \frac{3}{2} \). Do đó, \( x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \). 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([0; 9]\): - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 12 \cdot 0^2 - 4 = -4 \] - Tại \( x = 9 \): \[ f(9) = 9^4 - 12 \cdot 9^2 - 4 = 6561 - 972 - 4 = 5585 \] - Tại \( x = \sqrt{\frac{3}{2}} \): \[ f\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^4 - 12 \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 - 4 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 12 \cdot \frac{3}{2} - 4 = \frac{9}{4} - 18 - 4 = \frac{9}{4} - 22 = -\frac{79}{4} = -19.75 \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - \( f(0) = -4 \) - \( f(9) = 5585 \) - \( f\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = -19.75 \) Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là \( -19.75 \). 5. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 12x^2 - 4 \) trên đoạn \([0; 9]\) là \( -19.75 \). Đáp án: \( \boxed{-19.75} \) Câu 9: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 10x^2 - 2 \) trên đoạn \([0; 9]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 10x^2 - 2) = 4x^3 - 20x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 20x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 5) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 5 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{5} \] 3. Loại bỏ các điểm không thuộc đoạn \([0; 9]\): \[ x = -\sqrt{5} \quad \text{(loại vì không thuộc đoạn [0; 9])} \] Các điểm tới hạn còn lại trong đoạn \([0; 9]\) là: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = \sqrt{5} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: \[ f(0) = 0^4 - 10 \cdot 0^2 - 2 = -2 \] \[ f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 - 2 = 25 - 50 - 2 = -27 \] \[ f(9) = 9^4 - 10 \cdot 9^2 - 2 = 6561 - 810 - 2 = 5749 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ f(0) = -2 \] \[ f(\sqrt{5}) = -27 \] \[ f(9) = 5749 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 9]\) là \(-27\). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 10x^2 - 2 \) trên đoạn \([0; 9]\) là \(-27\). Đáp án đúng là: \( D. -27 \). Câu 10: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 - 12x^2 - 3 \) trên đoạn \([0; 9]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn hàm số: \[ f(x) = x^2 - 12x^2 - 3 = -11x^2 - 3 \] Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = -22x \] Bước 3: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -22x = 0 \] \[ \Rightarrow x=0 \] \[ \Rightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{x+1}=0 \Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\dfrac{x}{2}} \] Câu 11: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-3, 3]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 2x - 3 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] 3. Kiểm tra các điều kiện ràng buộc hoặc giới hạn miền giá trị biến số trong quá trình giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. Câu hỏi: Cho dãy số \( u_n\) thỏa mãn \( n \geq 1 \) và \( u_{n} = 2^{n} \). Tính tổng \( S = u_{1} + u_{2} + ... + u_{10} \). A. 2046 B. 1024 C. 2048 D. 1023 Câu 12: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) trên đoạn \([0, \sqrt{3}]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x^3-12x^2+9=0 \Leftrightarrow 4x(3x^2-1)=0 \Rightarrow x=0 \text{ hoặc } x=-\frac{\pi}{4} \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn trong khoảng \([0, \sqrt{3}]\): Các điểm tới hạn trong khoảng này là \( x = 0 \) và \( x = 1 \). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: \[ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] \[ y(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 2(\sqrt{3})^2 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6 \] 5. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: \[ y(0) = 3, \quad y(1) = 2, \quad y(\sqrt{3}) = 6 \] Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0, \sqrt{3}]\) là \( 6 \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) trên đoạn \([0, \sqrt{3}]\) là \( 6 \). Đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~M=6} \] Câu 13: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \) trên đoạn \([2, 4]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x^2 + 3)'(x - 1) - (x^2 + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{(2x+1)(x^2+1)}{x^2+1} \] \[ \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x^2} \quad \text{và} \quad \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ y' = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vì \( x = -1 \) không nằm trong đoạn \([2, 4]\), chúng ta chỉ xét \( x = 3 \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = \frac{2^2 + 3}{2 - 1} = \frac{4 + 3}{1} = 7 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{3^2 + 3}{3 - 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = \frac{4^2 + 3}{4 - 1} = \frac{16 + 3}{3} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ y(2) = 7, \quad y(3) = 6, \quad y(4) = \frac{19}{3} \approx 6.33 \] Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([2, 4]\) là \( 6 \), đạt được khi \( x = 3 \). Đáp án: \( D. \min_{2,2}y = -2 \) Lưu ý: Đáp án \( D \) có vẻ không chính xác vì giá trị nhỏ nhất thực tế là \( 6 \). Có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Câu 14: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^2 - 3x \) trên đoạn \([-3; 3]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 2x - 3 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] 3. Kiểm tra các điểm đầu mút và trong khoảng xác định: - Đặt \( y = \sqrt{x+1} + \sqrt{2x+1} \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{1}{\sin^2 x + 2 \cos x} \) Câu 15: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^4 - x^2 + 13 \) trên đoạn \([-1; 2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - x^2 + 13) = 4x^3 - 2x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 2x = 0 \] \[ 2x(2x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Đặt \( t = \sin x \). Ta có: \[ \frac{t^2}{2} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{x} \cos 2t \, dt = \left[ \frac{\sin 2t}{2} \right]_{-\frac{\pi}{4}}^{x} = \frac{\sin 2x}{2} - \frac{\sin(-\frac{\pi}{2})}{2} = \frac{\sin 2x}{2} + \frac{1}{2} \] Suy ra: \[ t^2 = \sin 2x + 1 \] Với \( t = \sin x \), ta có: \[ \sin^2 x = \sin 2x + 1 \] Biến đổi tiếp: \[ \sin^2 x - \sin 2x - 1 = 0 \] Thay \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \): \[ \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 1 = 0 \] Chia cả hai vế cho \( \cos^2 x \neq 0 \): \[ \tan^2 x - 2 \tan x - \sec^2 x = 0 \] Biến đổi thành: \[ \tan^2 x - 2 \tan x - (\tan^2 x + 1) = 0 \Rightarrow -2 \tan x - 1 = 0 \Rightarrow \tan x = -\frac{1}{2} \] Do đó: \[ x = \arctan \left( -\frac{1}{2} \right) \] Kiểm tra điều kiện \( x \in \left( -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right) \). 3. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^4 - (-1)^2 + 13 = 1 - 1 + 13 = 13 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^4 - 2^2 + 13 = 16 - 4 + 13 = 25 \] - Tại \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^4 - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 13 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 13 = \frac{51}{4} \] 4. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^4 - x^2 + 13 \) trên đoạn \([-1; 2]\) là 25, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp án đúng là: D. 25 Câu 16: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + \frac{2}{x} \) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2}; 2 \right]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left( x^2 + \frac{2}{x} \right) = 2x - \frac{2}{x^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 2x - \frac{2}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 1}{\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] \[ 2x - \frac{2}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 - 2 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1 \] 3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3 \] - Tại \( x = \frac{1}{2} \): \[ y\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{4} + \frac{16}{4} = \frac{17}{4} = 4.25 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^2 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(1) = 3 \) - \( y\left( \frac{1}{2} \right) = 4.25 \) - \( y(2) = 5 \) Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là \( 3 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + \frac{2}{x} \) trên đoạn \(\left[ \frac{1}{2}; 2 \right]\) là: \[ \boxed{3} \] Câu 17: Để tìm tập giá trị của hàm số \( y = \sqrt{x-1} + \sqrt{9-x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định (ĐKXĐ) của hàm số: - Điều kiện để \( \sqrt{x-1} \) có nghĩa là \( x - 1 \geq 0 \), tức là \( x \geq 1 \). - Điều kiện để \( \sqrt{9-x} \) có nghĩa là \( 9 - x \geq 0 \), tức là \( x \leq 9 \). Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: \[ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 < 1 \end{cases} \Rightarrow \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \] 2. Đặt \( t = \sqrt{x-1} + \sqrt{9-x} \). Ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( t \). 3. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: - Xét \( t = \sqrt{x-1} + \sqrt{9-x} \). - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (\sqrt{x-1} + \sqrt{9-x})^2 \leq (1+1)(x-1 + 9-x) = 2 \cdot 8 = 16 \] Suy ra: \[ t^2 \leq 16 \Rightarrow t \leq 4 \] - Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét tại các điểm biên của khoảng \([1, 9]\): - Khi \( x = 1 \): \[ y = \sqrt{1-1} + \sqrt{9-1} = 0 + \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Khi \( x = 9 \): \[ y = \sqrt{9-1} + \sqrt{9-9} = \sqrt{8} + 0 = 2\sqrt{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( 2\sqrt{2} \). 4. Kết luận: Tập giá trị của hàm số \( y = \sqrt{x-1} + \sqrt{9-x} \) là: \[ T = [2\sqrt{2}, 4] \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~T=[2\sqrt{2};4] \] Câu 18: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 - 7x^2 + 11x - 2 \) trên đoạn \([0; 2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn hàm số: \[ y = x^2 - 7x^2 + 11x - 2 = -6x^2 + 11x - 2 \] 2. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-6x^2 + 11x - 2) = -12x + 9 \] \[ y = -\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \] 3. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -12x + 9 = 0 \implies x = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \] 4. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn \([0; 2]\): - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = -6(0)^2 + 11(0) - 2 = -2 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = -6(2)^2 + 11(2) - 2 = -24 + 22 - 2 = -4 \] - Tại \( x = \frac{3}{4} \): \[ y\left(\frac{3}{4}\right) = -6\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 11\left(\frac{3}{4}\right) - 2 = -6 \cdot \frac{9}{16} + \frac{33}{4} - 2 = -\frac{54}{16} + \frac{132}{16} - \frac{32}{16} = \frac{46}{16} = \frac{23}{8} \] 5. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(0) = -2 \) - \( y(2) = -4 \) - \( y\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{23}{8} \) Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là \( -4 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -6x^2 + 11x - 2 \) trên đoạn \([0; 2]\) là: \[ \boxed{-4} \] Câu 19: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^4 - 4x^2 + 9 \) trên đoạn \([-2, 3]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2 + 9) = 4x^3 - 8x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 8x = 0 \] \[ 4x(2x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ 4x^2 + 12x - 27 = 0 \] \[ \text{Solve for } x: \] \[ 4x^2 + 12x - 27 = 0 \] \[ \text{Using the quadratic formula } x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}: \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-27)}}{2 \cdot 4} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 432}}{8} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{576}}{8} \] \[ x = \frac{-12 \pm 24}{8} \] \[ x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \quad \text{or} \quad x = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2} \] Since \( x = -\frac{9}{2} \) is not in the interval \([-2, 3]\), we only consider \( x = \frac{3}{2} \). 3. Evaluate the function at the critical point and the endpoints of the interval: \[ y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^4 - 4\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 9 \] \[ = \frac{81}{16} - 4 \cdot \frac{9}{4} + 9 \] \[ = \frac{81}{16} - 9 + 9 \] \[ = \frac{81}{16} \] \[ y(-2) = (-2)^4 - 4(-2)^2 + 9 \] \[ = 16 - 16 + 9 \] \[ = 9 \] \[ y(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^2 + 9 \] \[ = 81 - 36 + 9 \] \[ = 54 \] 4. Compare the values to find the maximum: \[ y\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{81}{16}, \quad y(-2) = 9, \quad y(3) = 54 \] The maximum value is \( 54 \). Therefore, the maximum value of the function \( y = x^4 - 4x^2 + 9 \) on the interval \([-2, 3]\) is \(\boxed{54}\). Câu 20: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 4x^2 + 5 \) trên đoạn \([-2; 3]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = 4x^3 - 8x \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 8x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 2) = 0 \] \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ x(-2) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Ta thấy rằng \( x = 1 \) thỏa mãn phương trình đầu tiên nhưng không thỏa mãn điều kiện thứ hai. Do đó, chúng ta sẽ kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([-2; 3]\). Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([-2; 3]\): \[ f(-2) = (-2)^4 - 4(-2)^2 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5 \] \[ f(0) = 0^4 - 4(0)^2 + 5 = 5 \] \[ f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \] \[ f(3) = 3^4 - 4(3)^2 + 5 = 81 - 36 + 5 = 50 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: \[ f(-2) = 5 \] \[ f(0) = 5 \] \[ f(\sqrt{2}) = 1 \] \[ f(3) = 50 \] Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 4x^2 + 5 \) trên đoạn \([-2; 3]\) là 50, đạt được khi \( x = 3 \). Đáp án: B. 50 Câu 21: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^4 - x^2 + 1 \) trên đoạn \([-2; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 4x^3 - 2x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 2x = 0 \] \[ 2x(2x^2 - 1) = 0 \] \[ 2x(2x^2-1)=0 \] \[ 2x^2(2x^2+1)-2x=0 \] Đặt \( t = \sin x \). Câu 22: Hàm số đã cho xác định trên đoạn [-3; 3]. Ta có f'(x) = 2x. Cho f'(x) = 0 suy ra x = 0 thuộc [-3; 3]. Ta có f(-3) = 6; f(0) = -3; f(3) = 6. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-3; 3] bằng -3. Câu 23: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 + 3x^2 \) trên đoạn \([-4; -1]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn hàm số: \[ y = x^2 + 3x^2 = 4x^2 \] Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 8x \] Bước 3: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 8x = 0 \] \[ x = 0 \] Tuy nhiên, \( x = 0 \) không thuộc miền xác định ban đầu nên ta loại nghiệm này. 9. Không dùng khái niệm arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x), etc. Câu 24: Trước tiên, ta cần kiểm tra lại đề bài vì có vẻ như có lỗi trong biểu thức của hàm số. Hàm số đã cho là \( y = x^2 + 2x^2 - 7x \). Ta sẽ đơn giản hóa biểu thức này trước: \[ y = x^2 + 2x^2 - 7x = 3x^2 - 7x \] Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3x^2 - 7x \) trên đoạn \([0; 4]\). 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 3x^2 - 12x + 12 = 0 \] Đặt \( t = x^2 - 2x \), ta có: \[ g(t) = t^3 - 3t + 2 \] Tìm đạo hàm của \( g(t) \): \[ g'(t) = 3t^2 - 3 \] Giải phương trình \( g'(t) = 0 \): \[ 3t^2 - 3 = 0 \implies t^2 = 1 \implies t = \pm 1 \] Thay \( t = x^2 - 2x \) trở lại, ta có: \[ x^2 - 2x = 1 \quad \text{và} \quad x^2 - 2x = -1 \] Giải các phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = 1 \pm \sqrt{2} \] \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \implies x = 1 \] 2. Kiểm tra các điểm tới hạn và biên: Các điểm tới hạn là \( x = 1 \pm \sqrt{2} \) và \( x = 1 \). Kiểm tra các điểm này cùng với các điểm biên \( x = 0 \) và \( x = 4 \): - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 3(0)^2 - 7(0) = 0 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 3(1)^2 - 7(1) = 3 - 7 = -4 \] - Tại \( x = 1 + \sqrt{2} \): \[ y(1 + \sqrt{2}) = 3(1 + \sqrt{2})^2 - 7(1 + \sqrt{2}) \] \[ = 3(1 + 2\sqrt{2} + 2) - 7 - 7\sqrt{2} \] \[ = 3(3 + 2\sqrt{2}) - 7 - 7\sqrt{2} \] \[ = 9 + 6\sqrt{2} - 7 - 7\sqrt{2} \] \[ = 2 - \sqrt{2} \] - Tại \( x = 1 - \sqrt{2} \): \[ y(1 - \sqrt{2}) = 3(1 - \sqrt{2})^2 - 7(1 - \sqrt{2}) \] \[ = 3(1 - 2\sqrt{2} + 2) - 7 + 7\sqrt{2} \] \[ = 3(3 - 2\sqrt{2}) - 7 + 7\sqrt{2} \] \[ = 9 - 6\sqrt{2} - 7 + 7\sqrt{2} \] \[ = 2 + \sqrt{2} \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = 3(4)^2 - 7(4) = 48 - 28 = 20 \] 3. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: Các giá trị tại các điểm trên là: \[ y(0) = 0, \quad y(1) = -4, \quad y(1 + \sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2}, \quad y(1 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}, \quad y(4) = 20 \] So sánh các giá trị này, ta thấy giá trị nhỏ nhất là \( -4 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3x^2 - 7x \) trên đoạn \([0; 4]\) là \(-4\). Đáp án đúng là: D. -4