Giải ngắn gọn , dễ hiểu

Câu 2: Để tìm số điểm cực đại của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x+1)(x-4)^3 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn là các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \). Ta có: \[ f'(x) = x(x+1)(x-4)^3 = 0 \] Giải phương trình này, ta được: \[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 4 \] 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng: Ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 4) \), và \( (4, \infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)(-2+1)((-2)-4)^3 = (-2)(-1)(-6)^3 = (-2)(-1)(-216) = -432 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Trên khoảng \( (-1, 0) \): Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = (-0.5)(-0.5+1)((-0.5)-4)^3 = (-0.5)(0.5)(-4.5)^3 = (-0.5)(0.5)(-91.125) = 22.78125 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-1, 0) \). - Trên khoảng \( (0, 4) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)(2+1)(2-4)^3 = (2)(3)(-2)^3 = (2)(3)(-8) = -48 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (0, 4) \). - Trên khoảng \( (4, \infty) \): Chọn \( x = 5 \): \[ f'(5) = (5)(5+1)(5-4)^3 = (5)(6)(1)^3 = (5)(6)(1) = 30 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (4, \infty) \). 3. Xác định các điểm cực đại: Một điểm \( x = c \) là điểm cực đại nếu \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \( c \). - Tại \( x = -1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = -1 \) không phải là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 4 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 4 \) không phải là điểm cực đại. Vậy, hàm số \( f(x) \) có 1 điểm cực đại tại \( x = 0 \). Đáp án: D. 1. Câu 3: Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x+1)(x-4)^3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn của hàm số là các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \). Ta có: \[ f'(x) = x(x+1)(x-4)^3 = 0 \] Giải phương trình này, ta được: \[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 4 \] 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng: Ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 0) \), \( (0, 4) \), và \( (4, \infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)(-2+1)((-2)-4)^3 = (-2)(-1)(-6)^3 = (-2)(-1)(-216) = -432 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Trên khoảng \( (-1, 0) \): Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = (-0.5)(-0.5+1)((-0.5)-4)^3 = (-0.5)(0.5)(-4.5)^3 = (-0.5)(0.5)(-91.125) = 22.78125 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-1, 0) \). - Trên khoảng \( (0, 4) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)(2+1)(2-4)^3 = (2)(3)(-2)^3 = (2)(3)(-8) = -48 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (0, 4) \). - Trên khoảng \( (4, \infty) \): Chọn \( x = 5 \): \[ f'(5) = (5)(5+1)(5-4)^3 = (5)(6)(1)^3 = (5)(6)(1) = 30 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (4, \infty) \). 3. Xác định các điểm cực tiểu: Một điểm \( x = c \) là điểm cực tiểu nếu \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \( c \). - Tại \( x = -1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 0 \) không phải là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 4 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 4 \) là điểm cực tiểu. Vậy, số điểm cực tiểu của hàm số là 2. Đáp án: D. 2. Câu 4: Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x-1)(x+4)^3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn là các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \). Ta có: \[ f'(x) = x(x-1)(x+4)^3 = 0 \] Giải phương trình này, ta tìm được các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -4 \] 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng: Ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, \infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -4) \): Chọn \( x = -5 \): \[ f'(-5) = (-5)(-5-1)((-5)+4)^3 = (-5)(-6)(-1)^3 = -30 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -4) \). - Trên khoảng \( (-4, 0) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)(-2-1)((-2)+4)^3 = (-2)(-3)(2)^3 = 48 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-4, 0) \). - Trên khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5)(0.5-1)((0.5)+4)^3 = (0.5)(-0.5)(4.5)^3 = -50.625 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (0, 1) \). - Trên khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)(2-1)((2)+4)^3 = (2)(1)(6)^3 = 432 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (1, \infty) \). 3. Xác định các điểm cực tiểu: Một điểm \( x = c \) là điểm cực tiểu nếu \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \( c \). - Tại \( x = -4 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \( x = -4 \). Vậy \( x = -4 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \( x = 0 \). Vậy \( x = 0 \) không phải là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \( x = 1 \). Vậy \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Vậy, số điểm cực tiểu của hàm số là 2. Đáp án: A. 2 Câu 5: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x-1)(x+2)^3 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn (điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định): - Đạo hàm \( f'(x) = x(x-1)(x+2)^3 \) luôn xác định trên toàn bộ miền \( \mathbb{R} \). - Ta cần giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ x(x-1)(x+2)^3 = 0 \] Từ đây, ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các điểm tới hạn: - Các khoảng cần xét là: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, \infty) \). - Khoảng \( (-\infty, -2) \): Chọn \( x = -3 \): \[ f'(-3) = (-3)(-3-1)((-3)+2)^3 = (-3)(-4)(-1)^3 = (-3)(-4)(-1) = -12 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng này. - Khoảng \( (-2, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = (-1)(-1-1)((-1)+2)^3 = (-1)(-2)(1)^3 = (-1)(-2)(1) = 2 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng này. - Khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5)(0.5-1)(0.5+2)^3 = (0.5)(-0.5)(2.5)^3 = (0.5)(-0.5)(15.625) = -3.90625 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng này. - Khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)(2-1)(2+2)^3 = (2)(1)(4)^3 = (2)(1)(64) = 128 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng này. 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -2 \): Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = -2 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 0 \): Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số \( f(x) \) có 3 điểm cực trị. Đáp án: B. 3 Câu 6: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x+2)^2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \): \[ f'(x) = x(x+2)^2 = 0 \] Ta có: \[ x(x+2)^2 = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x+2)^2 = 0 \] Giải tiếp: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = 0 \implies x = -2 \] 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng xác định bởi các giá trị \( x \) vừa tìm được: Các khoảng cần xét là \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \), và \( (0, \infty) \). - Khoảng \( (-\infty, -2) \): Chọn \( x = -3 \): \[ f'(-3) = (-3)(-3+2)^2 = (-3)(-1)^2 = -3 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -2) \). - Khoảng \( (-2, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = (-1)(-1+2)^2 = (-1)(1)^2 = -1 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-2, 0) \). - Khoảng \( (0, \infty) \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = (1)(1+2)^2 = (1)(3)^2 = 9 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (0, \infty) \). 3. Xác định tính chất của các điểm \( x = -2 \) và \( x = 0 \): - Tại \( x = -2 \): Đạo hàm \( f'(x) \) không đổi dấu khi đi qua \( x = -2 \) vì \( f'(x) < 0 \) cả hai bên của \( x = -2 \). Do đó, \( x = -2 \) không phải là điểm cực trị. - Tại \( x = 0 \): Đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \( x = 0 \). Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số \( f(x) \) có 1 điểm cực trị. Đáp án: B. 1. Câu 7: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x-1)^2 \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn (điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại): Đạo hàm \( f'(x) = x(x-1)^2 \). Ta thấy rằng đạo hàm này luôn tồn tại trên toàn bộ miền xác định \( \mathbb{R} \). Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ x(x-1)^2 = 0 \] Từ đây, ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 \] Vậy các điểm tới hạn là \( x = 0 \) và \( x = 1 \). 2. Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn: - Khoảng \( (-\infty, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = (-1)((-1)-1)^2 = (-1)(-2)^2 = (-1)(4) = -4 < 0 \] Đạo hàm âm trong khoảng này. - Khoảng \( (0, 1) \): Chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5)((0.5)-1)^2 = (0.5)(-0.5)^2 = (0.5)(0.25) = 0.125 > 0 \] Đạo hàm dương trong khoảng này. - Khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)((2)-1)^2 = (2)(1)^2 = (2)(1) = 2 > 0 \] Đạo hàm dương trong khoảng này. 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn: - Tại \( x = 0 \): Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): Đạo hàm không đổi dấu (vẫn dương ở cả hai bên), nên \( x = 1 \) không phải là điểm cực trị. Vậy, hàm số \( f(x) \) có 1 điểm cực trị (cực tiểu tại \( x = 0 \)). Đáp án: C. 1. Câu 8: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x+1)^2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn là các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \). Ta có: \[ f'(x) = x(x+1)^2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ x(x+1)^2 = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x+1)^2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vậy các điểm tới hạn là \( x = 0 \) và \( x = -1 \). 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng xác định: Ta sẽ kiểm tra dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 0) \), và \( (0, \infty) \). - Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)(-2+1)^2 = (-2)(-1)^2 = (-2)(1) = -2 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (-\infty, -1) \). - Khoảng \( (-1, 0) \): Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = (-0.5)(-0.5+1)^2 = (-0.5)(0.5)^2 = (-0.5)(0.25) = -0.125 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (-1, 0) \). - Khoảng \( (0, \infty) \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = (1)(1+1)^2 = (1)(2)^2 = (1)(4) = 4 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (0, \infty) \). 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn: - Tại \( x = -1 \): \( f'(x) \) không đổi dấu từ âm sang dương hoặc ngược lại, nên \( x = -1 \) không phải là điểm cực trị. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. Vậy hàm số \( f(x) \) có 1 điểm cực trị. Đáp án: A. 1. Câu 9: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x-2)^2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: Các điểm tới hạn là các giá trị của \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \). Ta có: \[ f'(x) = x(x-2)^2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ x(x-2)^2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-2)^2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Vậy các điểm tới hạn là \( x = 0 \) và \( x = 2 \). 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng xác định: Ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), và \( (2, +\infty) \). - Khoảng \( (-\infty, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = (-1)(-1-2)^2 = (-1)(-3)^2 = (-1)(9) = -9 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (-\infty, 0) \). - Khoảng \( (0, 2) \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = (1)(1-2)^2 = (1)(-1)^2 = (1)(1) = 1 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (0, 2) \). - Khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3)(3-2)^2 = (3)(1)^2 = (3)(1) = 3 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (2, +\infty) \). 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn: - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \( x = 0 \). Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) không đổi dấu khi đi qua \( x = 2 \) (vẫn dương ở cả hai bên). Do đó, \( x = 2 \) không phải là điểm cực trị. Vậy hàm số \( y = f(x) \) có 1 điểm cực trị. Đáp án: D. 1. Câu 10: Phương pháp giải: - Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) - Tìm các điểm \( x \) sao cho \( f'(x) = 0 \) - Xác định khoảng đơn điệu của hàm số để suy ra điểm cực tiểu. Chi tiết lời giải: 1. Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ x(1-x)^2(3-x)^3(x-2)^4 = 0 \] Ta có các nghiệm của \( f'(x) = 0 \) là: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3 \] 2. Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \((-\infty, 0)\), \((0, 1)\), \((1, 2)\), \((2, 3)\), \((3, +\infty)\): - Trên khoảng \((-\infty, 0)\): \[ f'(x) < 0 \] - Trên khoảng \((0, 1)\): \[ f'(x) > 0 \] - Trên khoảng \((1, 2)\): \[ f'(x) > 0 \] - Trên khoảng \((2, 3)\): \[ f'(x) < 0 \] - Trên khoảng \((3, +\infty)\): \[ f'(x) > 0 \] 3. Từ đó ta thấy rằng tại \( x = 0 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, tức là \( f(x) \) có điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x=0. \] Câu 11: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x^3(x-1)(x-2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn: - Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ x^3(x-1)(x-2) = 0 \] - Giải phương trình này: \[ x^3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x-1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x-2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng: - Ta xét các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), và \( (2, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \): \[ x < 0 \implies x^3 < 0, \quad x-1 < 0, \quad x-2 < 0 \] \[ f'(x) = x^3(x-1)(x-2) > 0 \quad (\text{vì tích của ba số âm}) \] - Trên khoảng \( (0, 1) \): \[ 0 < x < 1 \implies x^3 > 0, \quad x-1 < 0, \quad x-2 < 0 \] \[ f'(x) = x^3(x-1)(x-2) < 0 \quad (\text{vì tích của hai số âm và một số dương}) \] - Trên khoảng \( (1, 2) \): \[ 1 < x < 2 \implies x^3 > 0, \quad x-1 > 0, \quad x-2 < 0 \] \[ f'(x) = x^3(x-1)(x-2) < 0 \quad (\text{vì tích của hai số âm và một số dương}) \] - Trên khoảng \( (2, +\infty) \): \[ x > 2 \implies x^3 > 0, \quad x-1 > 0, \quad x-2 > 0 \] \[ f'(x) = x^3(x-1)(x-2) > 0 \quad (\text{vì tích của ba số dương}) \] 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): - \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \( x = 0 \). Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): - \( f'(x) \) không đổi dấu khi đi qua \( x = 1 \). Do đó, \( x = 1 \) không phải là điểm cực trị. - Tại \( x = 2 \): - \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \( x = 2 \). Do đó, \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số \( f(x) \) có 2 điểm cực trị: một điểm cực đại tại \( x = 0 \) và một điểm cực tiểu tại \( x = 2 \). Đáp án: D. 2. Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \). Các điểm cực tiểu xảy ra tại các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương. Bước 1: Xác định các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0. \[ f'(x) = (x-1)(x-2)\cdots(x-2019) \] Các điểm này là \( x = 1, 2, 3, \ldots, 2019 \). Bước 2: Xác định sự đổi dấu của \( f'(x) \) tại các điểm trên. - Khi \( x < 1 \), tất cả các thừa số \( (x-1), (x-2), \ldots, (x-2019) \) đều âm, do đó \( f'(x) \) âm. - Khi \( 1 < x < 2 \), \( (x-1) \) dương còn các thừa số khác âm, do đó \( f'(x) \) dương. - Khi \( 2 < x < 3 \), \( (x-1) \) và \( (x-2) \) dương còn các thừa số khác âm, do đó \( f'(x) \) âm. - Tiếp tục như vậy, ta thấy rằng \( f'(x) \) sẽ đổi dấu từ âm sang dương tại các điểm lẻ và đổi dấu từ dương sang âm tại các điểm chẵn. Bước 3: Đếm số lượng điểm cực tiểu. - Các điểm cực tiểu xảy ra tại các điểm mà \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, tức là tại các điểm lẻ \( x = 1, 3, 5, \ldots, 2019 \). Số lượng các điểm lẻ từ 1 đến 2019 là: \[ \text{Số lượng} = \frac{2019 - 1}{2} + 1 = 1009 + 1 = 1010 \] Vậy hàm số \( y = f(x) \) có tất cả 1010 điểm cực tiểu. Đáp án: B. 1010 Câu 13: Để tìm số điểm cực đại của hàm số \( f(x) \), chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = x^2 (x + 1) (x - 2)^3 \] Bước 1: Tìm các nghiệm của \( f'(x) = 0 \): \[ x^2 (x + 1) (x - 2)^3 = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 2 \] Bước 2: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm trên: - Khoảng \((-\infty, -1)\): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)^2 (-2 + 1) (-2 - 2)^3 = 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 32 > 0 \] - Khoảng \((-1, 0)\): Chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = (-0.5)^2 (-0.5 + 1) (-0.5 - 2)^3 = 0.25 \cdot 0.5 \cdot (-2.5)^3 = 0.25 \cdot 0.5 \cdot (-15.625) = -1.953125 < 0 \] - Khoảng \((0, 2)\): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = (1)^2 (1 + 1) (1 - 2)^3 = 1 \cdot 2 \cdot (-1)^3 = 1 \cdot 2 \cdot (-1) = -2 < 0 \] - Khoảng \((2, \infty)\): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3)^2 (3 + 1) (3 - 2)^3 = 9 \cdot 4 \cdot 1 = 36 > 0 \] Bước 3: Xác định các điểm cực đại: - Tại \( x = -1 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \), \( f'(x) \) không đổi dấu (vẫn âm), do đó \( x = 0 \) không phải là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 2 \) không phải là điểm cực đại. Vậy, hàm số \( f(x) \) có 1 điểm cực đại tại \( x = -1 \). Đáp án: C. 1