Giúp mình câu 3 với ạ

Bài 3: a) Chứng minh AHCK là một hình bình hành: - Ta có \(AH \perp BD\) và \(CK \perp BD\) (theo giả thiết). - Do đó, \(AH \parallel CK\) (vì cùng vuông góc với BD). - Tương tự, \(AK \perp BD\) và \(CH \perp BD\), nên \(AK \parallel CH\). - Vậy tứ giác \(AHCK\) có hai cặp cạnh đối song song, do đó \(AHCK\) là một hình bình hành. b) Chứng minh O là trung điểm của BD thì O cũng là trung điểm của HK: - Giả sử O là trung điểm của BD, ta có \(OB = OD\). - Trong hình bình hành \(AHCK\), ta đã chứng minh \(AH \parallel CK\) và \(AK \parallel CH\). - Do \(AHCK\) là hình bình hành, nên \(AH = CK\) và \(AK = CH\). - Xét hai tam giác vuông \(AOH\) và \(COK\): - \(AH = CK\) (vì là cạnh đối của hình bình hành). - \(AO = CO\) (vì O là trung điểm của BD). - Do đó, hai tam giác vuông \(AOH\) và \(COK\) bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông. - Suy ra \(OH = OK\). - Vậy O là trung điểm của HK. Bài 4: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước lập luận như sau: a) Chứng minh \(MN \bot AC\). - Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), nên \(MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\). - Trong hình bình hành, đường trung bình song song với hai cạnh đối diện và bằng nửa tổng của hai cạnh đó. - Do đó, \(MN \parallel BD\). - Ta có \(AD \bot AC\) (giả thiết), mà \(BD \parallel MN\), nên \(MN \bot AC\). b) Tứ giác \(AMCN\) là hình gì? - Ta đã chứng minh \(MN \bot AC\). - Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), nên \(AM = MB\) và \(CN = ND\). - Do đó, \(AM = CN\) và \(MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\). - Tứ giác \(AMCN\) có hai đường chéo \(AC\) và \(MN\) vuông góc với nhau và \(AM = CN\). - Vậy tứ giác \(AMCN\) là hình chữ nhật. Kết luận: a) \(MN \bot AC\). b) Tứ giác \(AMCN\) là hình chữ nhật. Bài 5: a) Xét tam giác \( ADBF \): - Do \( DF \parallel AC \) (vì \( DF \) song song với \( AC \)), nên \( \angle ADF = \angle DAC \). - Tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \), nên \( \angle DAC = \angle ACB \). - Suy ra \( \angle ADF = \angle ACB \). Vì \( DF \parallel AC \) và \( D \) nằm trên \( AB \), \( F \) nằm trên \( BC \), nên \( \triangle ADBF \) là tam giác cân tại \( D \). b) Chứng minh tứ giác \( DCEF \) là hình bình hành: - Ta có \( DF \parallel AC \) và \( CE \parallel DF \) (vì \( CE = BD \) và \( BD \parallel AC \)). - Do đó, \( DF \parallel CE \). - Mặt khác, \( DE \) là đường chéo chung của hai tam giác \( \triangle DCE \) và \( \triangle DFE \). Vì \( DF \parallel CE \) và \( DE \) là đường chéo chung, nên tứ giác \( DCEF \) là hình bình hành. Bài 6: Để giải bài toán này, ta cần chứng minh hai điều: a) Chứng minh \(MN = PQ\). 1. Xét tam giác \(ABC\): - \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), do đó \(MN\) song song với \(AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\). 2. Xét tam giác \(CDA\): - \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(DA\). - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(CDA\), do đó \(PQ\) song song với \(AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). 3. Kết luận: - Từ hai kết quả trên, ta có \(MN = PQ\). b) Chứng minh \(MNPQ\) là một hình bình hành. 1. Chứng minh \(MN\) song song và bằng \(PQ\): - Như đã chứng minh ở phần a), \(MN\) song song với \(PQ\) và \(MN = PQ\). 2. Chứng minh \(MP\) song song và bằng \(NQ\): - Xét tam giác \(ABD\): - \(M\) và \(Q\) là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\), do đó \(MQ\) song song với \(BD\) và \(MQ = \frac{1}{2}BD\). - Xét tam giác \(BCD\): - \(N\) và \(P\) là trung điểm của \(BC\) và \(CD\). - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\), do đó \(NP\) song song với \(BD\) và \(NP = \frac{1}{2}BD\). 3. Kết luận: - Từ hai kết quả trên, ta có \(MQ = NP\) và \(MQ\) song song với \(NP\). - Do đó, tứ giác \(MNPQ\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \(MNPQ\) là một hình bình hành. Vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán. Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh AMCN là hình bình hành 1. Xét các trung điểm: - M là trung điểm của AB, do đó \( AM = MB \). - N là trung điểm của CD, do đó \( CN = ND \). 2. Chứng minh AM // CN và AM = CN: - Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên \( AM = \frac{1}{2}AB \) và \( CN = \frac{1}{2}CD \). - Trong hình bình hành ABCD, ta có \( AB // CD \) và \( AB = CD \). - Do đó, \( AM // CN \) và \( AM = CN \). 3. Kết luận: - Từ hai điều trên, ta có AMCN là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. b) Chứng minh \( BF = FE = ED \) 1. Xét tam giác BCD: - E là giao điểm của AN và BD, F là giao điểm của CM và BD. - Vì M và N là trung điểm của AB và CD, nên AN và CM là các đường trung tuyến của tam giác BCD. 2. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác BCD: - Trong tam giác BCD, AN và CM là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F. - Theo tính chất của trọng tâm, F chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỷ lệ 2:1. 3. Chứng minh \( BF = FE = ED \): - Vì F là trọng tâm của tam giác BCD, nên \( BF = \frac{1}{3}BD \), \( FE = \frac{1}{3}BD \), và \( ED = \frac{1}{3}BD \). - Do đó, \( BF = FE = ED \). Vậy, ta đã chứng minh được \( BF = FE = ED \) như yêu cầu.