Giúp câu 5 với ạ

Bài 3: a) Để chứng minh tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song. - Ta có \(AH \perp BD\) và \(CK \perp BD\) (do giả thiết). - Do đó, \(AH \parallel CK\). - Tương tự, \(AK \perp BD\) và \(CH \perp BD\). - Do đó, \(AK \parallel CH\). Vì \(AH \parallel CK\) và \(AK \parallel CH\), tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành. b) Để chứng minh \(O\) là trung điểm của \(HK\), ta cần chứng minh \(OH = OK\). - Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\), nên \(OB = OD\). - Trong hình bình hành \(AHCK\), ta có: - \(AH \parallel CK\) và \(AK \parallel CH\). - Do \(AH \parallel CK\) và \(AK \parallel CH\), hai tam giác \(AOH\) và \(COK\) là hai tam giác vuông có cạnh huyền chung là \(BD\). - Do đó, \(OH = OK\). Vậy \(O\) là trung điểm của \(HK\). Bài 4: a) Chứng minh \(MN \bot AC\): - Ta có \(AD \bot AC\) (giả thiết). - Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). - Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\). - Do \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), nên \(MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABCD\). - Đường trung bình của hình bình hành song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy, do đó \(MN \parallel AD\). - Vì \(AD \bot AC\), nên \(MN \bot AC\). b) Tứ giác \(AMCN\) là hình gì? - Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\). - Trong hình bình hành \(ABCD\), \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\). - Do đó, \(AM = MB\) và \(CN = ND\). - Vì \(MN\) là đường trung bình của hình bình hành, nên \(MN \parallel AD\) và \(MN = \frac{1}{2}AD\). - Tứ giác \(AMCN\) có \(AM = CN\) và \(MN \parallel AC\). - Do đó, tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành. Bài 5: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước lập luận như sau: a) Xác định loại tam giác ADBF: - Ta có \(DF \parallel AC\) (do \(DF\) song song với \(AC\) theo giả thiết). - Xét tam giác \(ABD\), vì \(DF \parallel AC\), nên theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ \frac{BD}{BF} = \frac{AD}{AF} \] - Do đó, tam giác \(ADBF\) có hai cạnh tương ứng tỉ lệ và một cặp cạnh song song, nên \(ADBF\) là một hình thang. b) Chứng minh tứ giác DCEF là hình bình hành: - Ta có \(DF \parallel AC\) và \(CE \parallel DF\) (do \(CE = BD\) và \(DF \parallel AC\)). - Do đó, \(DF \parallel CE\). - Mặt khác, \(DE\) là đường chéo chung. - Vì \(DF \parallel CE\) và \(DE\) là đường chéo chung, nên tứ giác \(DCEF\) có hai cặp cạnh đối song song. - Theo định nghĩa, tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành. Vậy, tứ giác \(DCEF\) là hình bình hành. Bài 6: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như sau: a) Chứng minh \(MN = PQ\). - Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\), nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\). Do đó, \(MN\) song song với \(AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\). - Tương tự, \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(DA\), nên \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(CDA\). Do đó, \(PQ\) song song với \(AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). - Từ đó, ta có \(MN = PQ\). b) Chứng minh \(MNPQ\) là một hình bình hành. - Ta đã có \(MN = PQ\) và \(MN\) song song với \(PQ\). - Tương tự, ta có thể chứng minh \(MP = NQ\) và \(MP\) song song với \(NQ\) bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác \(ABD\) và \(BCD\). - Vì \(MN\) song song và bằng \(PQ\), \(MP\) song song và bằng \(NQ\), nên tứ giác \(MNPQ\) là một hình bình hành. Vậy, ta đã chứng minh được \(MN = PQ\) và \(MNPQ\) là một hình bình hành. Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh AMCN là hình bình hành 1. Xét các trung điểm: - M là trung điểm của AB, do đó \( AM = MB \). - N là trung điểm của CD, do đó \( CN = ND \). 2. Chứng minh AM // CN và AM = CN: - Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên \( AM = \frac{1}{2}AB \) và \( CN = \frac{1}{2}CD \). - Trong hình bình hành ABCD, ta có \( AB // CD \) và \( AB = CD \). - Do đó, \( AM // CN \) và \( AM = CN \). 3. Kết luận: - Từ hai điều trên, ta có AMCN là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. b) Chứng minh \( BF = FE = ED \) 1. Xét tam giác BCD: - E là giao điểm của AN và BD, F là giao điểm của CM và BD. - Ta cần chứng minh \( BF = FE = ED \). 2. Sử dụng tính chất đường trung bình: - Vì M và N là trung điểm của AB và CD, nên AN và CM là các đường trung bình của tam giác BCD. - Do đó, AN và CM chia BD thành ba đoạn bằng nhau. 3. Kẻ đường thẳng FG // AB: - Theo giả thiết, từ F kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại G. - Vì FG // AB và AN là đường trung bình, nên FG cũng là đường trung bình của tam giác ABE. 4. Kết luận: - Từ tính chất của đường trung bình, ta có \( BF = FE = ED \). Như vậy, ta đã chứng minh được AMCN là hình bình hành và \( BF = FE = ED \).