Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x – 5. Tìm các giá trị của m để đồ thị của hai hàm số là: a) Hai đường thẳng song song; b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Để giải bài toán này, ta cần xét điều kiện để hai đường thẳng song song và cắt nhau dựa vào hệ số góc của chúng. Hai hàm số đã cho là: 1. \( y = 2x + 3m \) 2. \( y = (2m + 1)x - 5 \) a) Hai đường thẳng song song Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau và hệ số tự do khác nhau. - Hệ số góc của đường thẳng thứ nhất là 2. - Hệ số góc của đường thẳng thứ hai là \( 2m + 1 \). Để hai đường thẳng song song, ta có: \[ 2 = 2m + 1 \] Giải phương trình: \[ 2 = 2m + 1 \] \[ 2 - 1 = 2m \] \[ 1 = 2m \] \[ m = \frac{1}{2} \] Với \( m = \frac{1}{2} \), hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau. Tuy nhiên, ta cần kiểm tra hệ số tự do để đảm bảo chúng khác nhau: - Hệ số tự do của đường thẳng thứ nhất là \( 3m \). - Hệ số tự do của đường thẳng thứ hai là \(-5\). Với \( m = \frac{1}{2} \), ta có: - Hệ số tự do của đường thẳng thứ nhất là \( 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \). - Hệ số tự do của đường thẳng thứ hai là \(-5\). Vì \(\frac{3}{2} \neq -5\), hai đường thẳng là song song. b) Hai đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng khác nhau. Từ điều kiện hệ số góc khác nhau, ta có: \[ 2 \neq 2m + 1 \] Giải bất phương trình: \[ 2 \neq 2m + 1 \] \[ 2 - 1 \neq 2m \] \[ 1 \neq 2m \] \[ m \neq \frac{1}{2} \] Vậy, với \( m \neq \frac{1}{2} \), hai đường thẳng cắt nhau. Tóm lại: - Hai đường thẳng song song khi \( m = \frac{1}{2} \). - Hai đường thẳng cắt nhau khi \( m \neq \frac{1}{2} \).