Bài 8: Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AD > BC ) có đường chéo AC vuông góc cạnh bên CD; AC là tia phân giác góc BAD và góc D = 60 ĐỘ. a, CM; ABCD là hình thang cân. b, Tính độ dài cạnh AD; biết chu...

Bài 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a, Chứng minh ABCD là hình thang cân: 1. Xét tính chất của hình thang: - Hình thang ABCD có AB // CD (giả thiết). - Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD (giả thiết). 2. Xét tam giác ACD: - Vì AC là tia phân giác của góc BAD, nên góc BAC = góc CAD. - Do AC vuông góc với CD, nên góc ACD = 90 độ. 3. Xét tam giác ACD và tam giác BCD: - Trong tam giác ACD, góc ACD = 90 độ. - Trong tam giác BCD, góc BCD = 90 độ (vì CD là đường thẳng và AC vuông góc với CD). 4. Chứng minh tam giác ACD và tam giác BCD đồng dạng: - Xét tam giác ACD và tam giác BCD, ta có: - Góc ACD = góc BCD = 90 độ. - Góc CAD = góc BAC (do AC là tia phân giác của góc BAD). - Do đó, tam giác ACD và tam giác BCD đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA). 5. Kết luận: - Vì tam giác ACD và tam giác BCD đồng dạng và có góc ACD = góc BCD = 90 độ, nên AD = BC. - Do đó, hình thang ABCD là hình thang cân. b, Tính độ dài cạnh AD, biết chu vi hình thang bằng 20 cm: 1. Đặt độ dài các cạnh: - Gọi độ dài cạnh AD = x (cm). - Vì ABCD là hình thang cân, nên BC = x (cm). - Gọi độ dài cạnh AB = y (cm) và CD = z (cm). 2. Tính chu vi hình thang: - Chu vi hình thang ABCD là: AD + BC + AB + CD = x + x + y + z = 20 cm. 3. Sử dụng tính chất của hình thang cân: - Vì AB // CD và ABCD là hình thang cân, nên AB = CD. - Do đó, y = z. 4. Thay vào phương trình chu vi: - Ta có: 2x + 2y = 20. - Suy ra: x + y = 10. 5. Tính độ dài cạnh AD: - Vì góc D = 60 độ và tam giác ACD vuông tại C, nên tam giác ACD là tam giác vuông cân. - Do đó, AD = CD. - Từ phương trình x + y = 10 và AD = CD, ta có x = y. - Thay vào phương trình x + y = 10, ta có 2x = 10. - Suy ra: x = 5. Kết luận: - Độ dài cạnh AD là 5 cm.