giải cho tôi

Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét từng lựa chọn và xác định điều kiện nào là cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng. A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$ - Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng, thì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ sẽ cùng phương. Điều này là do nếu A, B, C thẳng hàng, thì điểm C nằm trên đường thẳng AB, do đó vectơ từ A đến B và vectơ từ A đến C sẽ cùng phương. - Ngược lại, nếu $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$, thì điểm C phải nằm trên đường thẳng AB, do đó A, B, C thẳng hàng. Vì vậy, điều kiện này là điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng. B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M, MA cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$ - Điều kiện này không chính xác. Nếu với mọi điểm M, vectơ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, điều này không đảm bảo rằng A, B, C thẳng hàng. Thực tế, điều kiện này không có ý nghĩa rõ ràng trong việc xác định tính thẳng hàng của ba điểm A, B, C. C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M, MA cùng phương với $\widehat{AB}.$ - Điều kiện này cũng không chính xác và không có ý nghĩa rõ ràng trong ngữ cảnh của bài toán. Việc xét mọi điểm M không liên quan trực tiếp đến việc xác định tính thẳng hàng của ba điểm A, B, C. D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.$ - Điều kiện này không chính xác. Nếu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}$, điều này có nghĩa là điểm B và C trùng nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng A, B, C là ba điểm phân biệt. Kết luận: Lựa chọn A là chính xác. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$. Câu 10: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định hướng của các vectơ được cho và so sánh chúng để tìm ra cặp vectơ cùng hướng. 1. Xác định các vectơ: - Tam giác \( ABC \) là tam giác đều, do đó các cạnh \( AB = BC = CA \). - \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} \). - \( N \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{NC} \). 2. Xét các vectơ trong các đáp án: - A. \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{CB} \): - \( \overrightarrow{MN} \) là vectơ nối từ trung điểm \( M \) của \( AB \) đến trung điểm \( N \) của \( AC \). - \( \overrightarrow{CB} \) là vectơ từ \( C \) đến \( B \). - Trong tam giác đều, \( \overrightarrow{MN} \) không cùng hướng với \( \overrightarrow{CB} \) vì \( \overrightarrow{MN} \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \) và song song với \( \overrightarrow{BC} \) nhưng ngược hướng. - B. \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{MB} \): - \( \overrightarrow{MB} \) là vectơ từ \( M \) đến \( B \), và vì \( M \) là trung điểm của \( AB \), nên \( \overrightarrow{MB} \) cùng hướng với \( \overrightarrow{AB} \). - C. \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \): - \( \overrightarrow{MA} \) là vectơ từ \( M \) đến \( A \), và \( \overrightarrow{MB} \) là vectơ từ \( M \) đến \( B \). - Hai vectơ này không cùng hướng vì chúng đi từ \( M \) đến hai điểm khác nhau trên cạnh \( AB \). - D. \( \overrightarrow{AN} \) và \( \overrightarrow{CA} \): - \( \overrightarrow{AN} \) là vectơ từ \( A \) đến \( N \), và \( \overrightarrow{CA} \) là vectơ từ \( C \) đến \( A \). - Hai vectơ này không cùng hướng vì \( \overrightarrow{AN} \) đi từ \( A \) đến trung điểm \( N \) của \( AC \), trong khi \( \overrightarrow{CA} \) đi từ \( C \) đến \( A \). 3. Kết luận: Dựa trên phân tích trên, cặp vectơ cùng hướng là \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{MB} \). Do đó, đáp án đúng là B. Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần tìm số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{0}\), có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác đều \(ABCDEF\). Bước 1: Xác định các vectơ cùng phương Lục giác đều có tính chất đối xứng, do đó các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{0}\) sẽ là các vectơ có cùng hướng với các đường chéo của lục giác hoặc các cạnh của lục giác. Bước 2: Xác định các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác 1. Vectơ cùng phương với các cạnh của lục giác: - Các cạnh của lục giác đều là: \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{DE}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{FA}\). - Mỗi cạnh này có một vectơ ngược chiều tương ứng: \(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{ED}, \overrightarrow{FE}, \overrightarrow{AF}\). 2. Vectơ cùng phương với các đường chéo của lục giác: - Các đường chéo chính của lục giác là: \(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD}, \overrightarrow{CE}, \overrightarrow{DF}, \overrightarrow{EA}, \overrightarrow{FB}\). - Mỗi đường chéo này có một vectơ ngược chiều tương ứng: \(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{DB}, \overrightarrow{EC}, \overrightarrow{FD}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{BF}\). Bước 3: Đếm số lượng vectơ - Tổng số vectơ cùng phương với các cạnh của lục giác là 6 (các cạnh) + 6 (các cạnh ngược chiều) = 12. - Tổng số vectơ cùng phương với các đường chéo của lục giác là 6 (các đường chéo) + 6 (các đường chéo ngược chiều) = 12. Tuy nhiên, do yêu cầu của bài toán là tìm số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với \(\overrightarrow{0}\), ta chỉ cần đếm số vectơ có cùng phương với các đường chéo chính của lục giác, vì các vectơ này mới thực sự cùng phương với \(\overrightarrow{0}\). Kết luận Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với \(\overrightarrow{0}\), có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là 6. Do đó, đáp án đúng là B. 6. Bài tập 5: Để chứng minh rằng \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}\), ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và phép cộng vectơ. 1. Xác định các vectơ trung điểm: - Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). - Theo định nghĩa trung điểm, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{PD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] \[ \overrightarrow{DQ} = \overrightarrow{QA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} \] 2. Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{QP}\): - Vectơ \(\overrightarrow{MN}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \] - Vectơ \(\overrightarrow{QP}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{QD} + \overrightarrow{DP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] \[ \overrightarrow{QP} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CD}) \] 3. Chứng minh \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}\): - Tứ giác \(ABCD\) có tính chất: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} \] - Suy ra: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = -(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) \] - Do đó: \[ \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \frac{1}{2} (-(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CD}) \] - Vậy: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP} \] Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}\).