chứng minh công thức sau là đúng giúp mình vs 2,$S=\frac{abc}{4R}~($, , ,$ma^2=\frac{b^2+c^2}2-\frac{a^2}4$ CM,$mb^2=\frac{a^2+c^2}2-\frac{b^2}a$ , ,$m^2_C=\frac{a^2+b^2}2-\frac{c^2}a$ , ,Xe

Question

chứng minh công thức sau là đúng giúp mình vs 2,$S=\frac{abc}{4R}~($,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/9208174333434c8f8ecda98287e06ebb.jpg />

,
,$ma^2=\frac{b^2+c^2}2-\frac{a^2}4$
CM,$mb^2=\frac{a^2+c^2}2-\frac{b^2}a$
,
,$m^2_C=\frac{a^2+b^2}2-\frac{c^2}a$
,

,Xe

Accepted Answer

Để chứng minh các công thức liên quan đến độ dài đường trung tuyến trong tam giác, ta sẽ sử dụng định lý Apollonius.

1. Công thức $m_a^2 = \frac{b^2 + c^2}{2} - \frac{a^2}{4}$

Định lý Apollonius:

Trong tam giác $ABC$, với $M$ là trung điểm của $BC$, ta có:

$$ AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + 2BM^2 $$

Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $BM = \frac{a}{2}$.

Áp dụng định lý Apollonius:

$$ b^2 + c^2 = 2m_a^2 + 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 $$

$$ b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2} $$

Suy ra:

$$ 2m_a^2 = b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2} $$

$$ m_a^2 = \frac{b^2 + c^2}{2} - \frac{a^2}{4} $$

2. Công thức $m_b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2} - \frac{b^2}{4}$

Tương tự, áp dụng định lý Apollonius cho đường trung tuyến $m_b$:

$$ a^2 + c^2 = 2m_b^2 + 2\left(\frac{b}{2}\right)^2 $$

$$ a^2 + c^2 = 2m_b^2 + \frac{b^2}{2} $$

Suy ra:

$$ 2m_b^2 = a^2 + c^2 - \frac{b^2}{2} $$

$$ m_b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2} - \frac{b^2}{4} $$

3. Công thức $m_c^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{c^2}{4}$

Áp dụng định lý Apollonius cho đường trung tuyến $m_c$:

$$ a^2 + b^2 = 2m_c^2 + 2\left(\frac{c}{2}\right)^2 $$

$$ a^2 + b^2 = 2m_c^2 + \frac{c^2}{2} $$

Suy ra:

$$ 2m_c^2 = a^2 + b^2 - \frac{c^2}{2} $$

$$ m_c^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{c^2}{4} $$

Các công thức trên đã được chứng minh dựa trên định lý Apollonius.