giúp mình với

Câu 1: Ta có: $A=\{k^2+1|k\in Z,|k|\leq2\}$ $=\{(-2)^2+1;(-1)^2+1;0^2+1;1^2+1;2^2+1\}$ $=\{4+1;1+1;0+1;1+1;4+1\}$ $=\{5;2;1;2;5\}$ $=\{1;2;5\}$ Vậy tập hợp A có 3 phần tử. Chọn đáp án C. Câu 2: Phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \) là một phương trình bậc hai. Để tìm nghiệm của phương trình này, ta sẽ tính biệt thức \( \Delta \). Biệt thức \( \Delta \) của phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) được tính bằng công thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Trong phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \), ta có: \[ a = 1, \quad b = 1, \quad c = 1 \] Do đó: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( x^2 + x + 1 = 0 \) không có nghiệm thực. Vậy tập hợp \( X \) không chứa bất kỳ phần tử nào, tức là: \[ X = \emptyset \] Đáp án đúng là: \[ A.~X = \emptyset \] Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần giải phương trình bậc hai \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) và tìm các nghiệm thực của nó. Bước 1: Xác định các hệ số của phương trình bậc hai: \[ a = 2, \quad b = -5, \quad c = 3 \] Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\): \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 \] \[ \Delta = 25 - 24 \] \[ \Delta = 1 \] Bước 3: Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] Bước 4: Thay các giá trị vào công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{5 \pm 1}{4} \] Bước 5: Tìm các nghiệm: \[ x_1 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] Vậy các nghiệm của phương trình là \( x_1 = \frac{3}{2} \) và \( x_2 = 1 \). Do đó, tập hợp \( X \) là: \[ X = \left\{ 1; \frac{3}{2} \right\} \] Đáp án đúng là: \[ D.~X = \left\{ 1; \frac{3}{2} \right\} \] Câu 4: Phương trình \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) có thể viết lại dưới dạng \( (x - 2)^2 = 0 \). Phương trình này có nghiệm duy nhất \( x = 2 \). Do đó, tập hợp \( A \) chỉ chứa một phần tử là 2. Vậy khẳng định đúng là: A. Tập hợp A có 1 phần tử. Câu 5: Để tìm số phần tử của tập hợp \( A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x \leq 4 \} \), chúng ta sẽ liệt kê tất cả các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện \( -3 < x \leq 4 \). Các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện này là: \[ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \] Liệt kê các phần tử của tập hợp \( A \): \[ A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \] Số phần tử của tập hợp \( A \) là 7. Do đó, đáp án đúng là: D. 7. Câu 6: Một tập hợp có đúng hai tập con nếu nó có đúng một phần tử. Tập hợp có đúng một phần tử thì có đúng hai tập con là tập rỗng và chính nó. Ta kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: $\{x; y\}$ có 2 phần tử, nên có nhiều hơn 2 tập con. - Đáp án B: $\{x; \emptyset\}$ có 2 phần tử, nên có nhiều hơn 2 tập con. - Đáp án C: $\{x\}$ có 1 phần tử, nên có đúng 2 tập con là $\{\emptyset\}$ và $\{x\}$. - Đáp án D: $\{x; y; \emptyset\}$ có 3 phần tử, nên có nhiều hơn 2 tập con. Vậy tập hợp có đúng hai tập con là $\{x\}$. Đáp án: $C.~\{x\}$. Câu 7: Tập con có một phần tử của X là {4} và {5}. Vậy số tập con có một phần tử của X là 2. Đáp án đúng là B. 2. Câu 8: Để tìm các phần tử của tập \( X = \{ x \in \mathbb{Q} | (x^2 - x - 6)(x^2 - 5) = 0 \} \), chúng ta cần giải phương trình \((x^2 - x - 6)(x^2 - 5) = 0\). Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x^2 - x - 6 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 5 = 0 \] 1. Giải phương trình \( x^2 - x - 6 = 0 \): Ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \] Từ đây suy ra: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 2. Giải phương trình \( x^2 - 5 = 0 \): \[ x^2 = 5 \] \[ x = \sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{5} \] Tuy nhiên, vì \( x \in \mathbb{Q} \) (tập hợp các số hữu tỉ), nên các giá trị \( \sqrt{5} \) và \( -\sqrt{5} \) không thuộc tập hợp số hữu tỉ. Do đó, các phần tử của tập \( X \) là: \[ X = \{ -2, 3 \} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~X = \{-2; 3\} \] Câu 9: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp A, B, C, D là tập rỗng, chúng ta sẽ giải từng phương trình tương ứng và kiểm tra xem có nghiệm thuộc tập hợp số đã cho hay không. Tập hợp A: \( \{x \in \mathbb{R} | x^2 + 5x - 6 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 + 5x - 6 = 0 \): \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -6 \). \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{-5 \pm 7}{2} \] Do đó, các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \] Vậy tập hợp A có nghiệm thực, tức là không phải tập rỗng. Tập hợp B: \( \{x \in \mathbb{Q} | 3x^2 = 5x + 2 = 0\} \) Giải phương trình \( 3x^2 - 5x - 2 = 0 \): \[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = -2 \). \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} \] \[ x = \frac{5 \pm 7}{6} \] Do đó, các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} \] Cả hai nghiệm đều là số hữu tỉ, nên tập hợp B không phải tập rỗng. Tập hợp C: \( \{x \in \mathbb{Z} | x^2 + x - 1 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 + x - 1 = 0 \): \[ x^2 + x - 1 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -1 \). \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Các nghiệm này không phải là số nguyên, nên tập hợp C là tập rỗng. Tập hợp D: \( \{x \in \mathbb{R} | x^2 + 5x - 1 = 0\} \) Giải phương trình \( x^2 + 5x - 1 = 0 \): \[ x^2 + 5x - 1 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -1 \). \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 4}}{2} \] \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2} \] Các nghiệm này là số thực, nên tập hợp D không phải tập rỗng. Kết luận: Tập hợp C là tập rỗng. Câu 10: Để xác định khẳng định nào sai, ta cần xem xét mối quan hệ giữa các tập hợp hình học đã cho: hình tứ giác, hình bình hành, hình thoi và hình vuông. 1. Khẳng định (I): \( C \subset B \subset A \) - Tập \( C \) là tập hợp các hình thoi. Mỗi hình thoi là một hình bình hành có các cạnh bằng nhau, do đó \( C \subset B \). - Tập \( B \) là tập hợp các hình bình hành. Mỗi hình bình hành là một tứ giác, do đó \( B \subset A \). - Vậy, khẳng định (I) là đúng. 2. Khẳng định (II): \( C \subset D \subset A \) - Tập \( C \) là tập hợp các hình thoi. Tập \( D \) là tập hợp các hình vuông. Mỗi hình vuông là một hình thoi, nhưng không phải mọi hình thoi đều là hình vuông. Do đó, \( C \subset D \) là sai. - Tập \( D \) là tập hợp các hình vuông. Mỗi hình vuông là một tứ giác, do đó \( D \subset A \). - Vậy, khẳng định (II) là sai. 3. Khẳng định (III): \( D \subset B \subset A \) - Tập \( D \) là tập hợp các hình vuông. Mỗi hình vuông là một hình bình hành, do đó \( D \subset B \). - Tập \( B \) là tập hợp các hình bình hành. Mỗi hình bình hành là một tứ giác, do đó \( B \subset A \). - Vậy, khẳng định (III) là đúng. Tóm lại, khẳng định sai là khẳng định (II). Do đó, đáp án đúng là \( B. (II) \). Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) thuộc tập hợp số tự nhiên (\(\mathbb{N}\)) sao cho phương trình \((x^3 - 9x)(2x^2 - 5x + 2) = 0\) thỏa mãn. Bước 1: Xét từng nhân tử của phương trình: \[ (x^3 - 9x)(2x^2 - 5x + 2) = 0 \] Bước 2: Giải phương trình \( x^3 - 9x = 0 \): \[ x(x^2 - 9) = 0 \] \[ x(x - 3)(x + 3) = 0 \] Do đó, \( x = 0 \), \( x = 3 \), hoặc \( x = -3 \). Bước 3: Giải phương trình \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \): \[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \( a = 2 \), \( b = -5 \), và \( c = 2 \): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{5 \pm 3}{4} \] Do đó, \( x = \frac{8}{4} = 2 \) hoặc \( x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Bước 4: Kết hợp các nghiệm đã tìm được và kiểm tra điều kiện \( x \in \mathbb{N} \): - Từ \( x^3 - 9x = 0 \), ta có \( x = 0 \), \( x = 3 \), hoặc \( x = -3 \). Trong đó, chỉ có \( x = 0 \) và \( x = 3 \) thuộc tập hợp số tự nhiên. - Từ \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \), ta có \( x = 2 \) hoặc \( x = \frac{1}{2} \). Trong đó, chỉ có \( x = 2 \) thuộc tập hợp số tự nhiên. Bước 5: Liệt kê các phần tử của tập hợp \( A \): \[ A = \{0, 2, 3\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\{0;2;3\} \] Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị tự nhiên \( x \) sao cho biểu thức \((x^4 - 5x^2 + 4)(3x^2 - 10x + 3) = 0\). Bước 1: Tìm các giá trị \( x \) sao cho \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \). Đặt \( y = x^2 \). Phương trình trở thành: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \] \[ (y - 1)(y - 4) = 0 \] \[ y = 1 \quad \text{hoặc} \quad y = 4 \] Do \( y = x^2 \), ta có: \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Bước 2: Tìm các giá trị \( x \) sao cho \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \). Giải phương trình bậc hai này: \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = -10 \), \( c = 3 \): \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{10 \pm 8}{6} \] Do đó: \[ x = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Bước 3: Kết hợp tất cả các giá trị \( x \) đã tìm được và kiểm tra xem chúng có thuộc tập hợp \( \mathbb{N} \) (số tự nhiên) hay không. Các giá trị \( x \) tìm được là: \[ x = 1, -1, 2, -2, 3, \frac{1}{3} \] Trong số các giá trị này, chỉ có \( x = 1, 2, 3 \) là số tự nhiên. Vậy tập hợp \( A \) là: \[ A = \{1, 2, 3\} \] Đáp án đúng là: \[ B.~\{1;2;3\} \]