Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 16

Câu 16: Để tìm phương trình của mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC và cách điểm M một khoảng bằng \(\sqrt{2}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng BC: Điểm \(B(1; -1; 0)\) và điểm \(C(2; -1; -1)\) cho ta vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là: \[ \overrightarrow{BC} = (2 - 1, -1 + 1, -1 - 0) = (1, 0, -1) \] Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ là \(\overrightarrow{n} = (1, 0, -1)\). 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P): Với vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (1, 0, -1)\), phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ x - z + D = 0 \] 3. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): Điểm \(M(-2, 1, 3)\) cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng \(\sqrt{2}\). Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: \[ d = \frac{|a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c \cdot z_1 + D|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Thay vào, ta có: \[ d = \frac{|-2 - 3 + D|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|-5 + D|}{\sqrt{2}} \] Theo đề bài, \(d = \sqrt{2}\), do đó: \[ \frac{|-5 + D|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] Giải phương trình trên, ta có: \[ |-5 + D| = 2 \] Từ đó, ta có hai trường hợp: - \(-5 + D = 2 \Rightarrow D = 7\) - \(-5 + D = -2 \Rightarrow D = 3\) 4. Kết luận: Vậy phương trình của mặt phẳng (P) có thể là: - \(x - z + 7 = 0\) - \(x - z + 3 = 0\) Đối chiếu với các đáp án đã cho, ta có: - Đáp án A: \(x - z - 7 = 0\) và \(x - z - 3 = 0\) không phù hợp. - Đáp án B: \(x - z + 7 = 0\) và \(x - z - 3 = 0\) không phù hợp. - Đáp án C: \(x - z + 7 = 0\) và \(x - z + 3 = 0\) phù hợp. - Đáp án D: \(x - z - 7 = 0\) và \(x - z + 3 = 0\) không phù hợp. Vậy đáp án đúng là C. Câu 17: Để tìm phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) qua hai điểm \(C(2;1;6)\) và \(D(3;5;1)\) và cách đều hai điểm này, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(CD\) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(CD\) là: \[ \overrightarrow{CD} = (3 - 2, 5 - 1, 1 - 6) = (1, 4, -5) \] Bước 2: Tìm trung điểm của đoạn thẳng \(CD\) Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(CD\) có tọa độ: \[ M\left(\frac{2+3}{2}, \frac{1+5}{2}, \frac{6+1}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}\right) \] Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) Mặt phẳng \((\alpha)\) cách đều hai điểm \(C\) và \(D\), do đó mặt phẳng này phải vuông góc với đường thẳng \(CD\). Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \((\alpha)\) có thể lấy chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(CD\): \[ \overrightarrow{n} = (1, 4, -5) \] Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) có dạng: \[ 1(x - x_0) + 4(y - y_0) - 5(z - z_0) = 0 \] Với \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng. Ta chọn điểm \(M\left(\frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}\right)\) thuộc mặt phẳng \((\alpha)\). Thay vào phương trình, ta có: \[ 1\left(x - \frac{5}{2}\right) + 4(y - 3) - 5\left(z - \frac{7}{2}\right) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ x - \frac{5}{2} + 4y - 12 - 5z + \frac{35}{2} = 0 \] \[ x + 4y - 5z + \frac{35}{2} - \frac{5}{2} - 12 = 0 \] \[ x + 4y - 5z + 15 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là: \[ x + 4y - 5z + 15 = 0 \]