vẽ bảng biến thiên ĐỀ BÀI,Xét tính đơn điệu và tìm cực trị các hàm số.,sau.,$1)~y=\frac13x^3-2x^2+3x+1$,$2)~y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$

Question

Accepted Answer

Bài 1: $ y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1 $

1. Tìm đạo hàm bậc nhất:
   $$
   y&#x27; = x^2 - 4x + 3
   $$

2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   x^2 - 4x + 3 = 0
   $$
   $$
   (x - 1)(x - 3) = 0
   $$
   $$
   x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3
   $$

3. Lập bảng biến thiên:

| $ x $      | $ -\infty $ | 1         | 3         | $ +\infty $ |
   |--------------|----------------|-----------|-----------|----------------|
   | $ y&#x27; $    | $ + $        | 0         | 0         | $ + $        |
   | $ y $     | $ -\infty $ | $ \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 1 = \frac{7}{3} $ | $ \frac{1}{3}(3)^3 - 2(3)^2 + 3(3) + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1 $ | $ +\infty $ |

4. Kết luận về tính đơn điệu và cực trị:
   - Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty, 1) $ và $ (3, +\infty) $.
   - Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (1, 3) $.
   - Hàm số đạt cực đại tại $ x = 1 $ với giá trị $ y = \frac{7}{3} $.
   - Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 3 $ với giá trị $ y = 1 $.

Bài 2: $ y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} $

1. Tìm đạo hàm bậc nhất:
   $$
   y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}
   $$
   Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   y&#x27; = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x - 1)^2}
   $$
   $$
   y&#x27; = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 3}{(x - 1)^2}
   $$
   $$
   y&#x27; = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   x^2 - 2x - 1 = 0
   $$
   $$
   x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}
   $$
   $$
   x = 1 + \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad x = 1 - \sqrt{2}
   $$

3. Lập bảng biến thiên:

| $ x $          | $ -\infty $ | $ 1 - \sqrt{2} $ | 1         | $ 1 + \sqrt{2} $ | $ +\infty $ |
   |------------------|----------------|----------------------|-----------|----------------------|----------------|
   | $ y&#x27; $        | $ + $        | 0                    | $ - $  | 0                    | $ + $        |
   | $ y $         | $ -\infty $ | $ \frac{(1 - \sqrt{2})^2 - 2(1 - \sqrt{2}) + 3}{(1 - \sqrt{2}) - 1} $ | $ -\infty $ | $ \frac{(1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) + 3}{(1 + \sqrt{2}) - 1} $ | $ +\infty $ |

4. Kết luận về tính đơn điệu và cực trị:
   - Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty, 1 - \sqrt{2}) $ và $ (1 + \sqrt{2}, +\infty) $.
   - Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (1 - \sqrt{2}, 1) $ và $ (1, 1 + \sqrt{2}) $.
   - Hàm số đạt cực đại tại $ x = 1 - \sqrt{2} $ với giá trị $ y = \frac{(1 - \sqrt{2})^2 - 2(1 - \sqrt{2}) + 3}{(1 - \sqrt{2}) - 1} $.
   - Hàm số đạt cực tiểu tại $ x = 1 + \sqrt{2} $ với giá trị $ y = \frac{(1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) + 3}{(1 + \sqrt{2}) - 1} $.