Hai điện tích q1 = q2 = q >0 đặt tại hai điểm A và B trong không khí. Cho biết AB = 2a. a) Xác định cường độ điện trường tại điểm M trên đường trung trực của AB cách AB một đoạn h. b) Tìm h để EM cực...

Cho hai điện tích q1 = q2 = q > 0 đặt tại hai điểm A và B trong không khí, khoảng cách AB = 2a. --- **a) Xác định cường độ điện trường tại điểm M trên đường trung trực của AB cách AB một đoạn h.** --- **Bước 1: Thiết lập hệ trục tọa độ** Giả sử đoạn AB nằm trên trục Ox, điểm A có tọa độ (-a, 0), điểm B có tọa độ (a, 0). Điểm M nằm trên đường trung trực của AB, nên M có hoành độ x = 0, tung độ y = h, tức tọa độ M(0, h). --- **Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến A và B** Khoảng cách MA = MB = r = \(\sqrt{a^2 + h^2}\). --- **Bước 3: Tính cường độ điện trường tại M do từng điện tích** Điện trường do điện tích q tại điểm cách q một đoạn r là: \[ E = \frac{kq}{r^2} \] với k = \(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\). Hướng của điện trường tại M do q1 (ở A) là từ A đến M vì q1 > 0 (điện trường hướng ra xa điện tích dương). Tương tự, điện trường do q2 (ở B) cũng hướng từ B đến M. --- **Bước 4: Phân tích các vectơ điện trường** Tại M: - Điện trường do q1: \( \vec{E_1} \) có độ lớn \( E_1 = \frac{kq}{r^2} \), hướng từ A đến M. - Điện trường do q2: \( \vec{E_2} \) có độ lớn \( E_2 = \frac{kq}{r^2} \), hướng từ B đến M. Gọi \(\theta = \) góc giữa vectơ \( \vec{E_1} \) và trục Oy (đường trung trực). Từ tam giác vuông có: \[ \cos \theta = \frac{h}{r}, \quad \sin \theta = \frac{a}{r} \] --- **Bước 5: Tính thành phần tổng hợp** Hai vectơ \( \vec{E_1} \) và \( \vec{E_2} \) đối xứng nhau qua trục Oy, nên thành phần ngang (trục Ox) của chúng sẽ triệt tiêu nhau. Thành phần theo Oy thì cộng lại. Do đó, tổng cường độ điện trường tại M là: \[ E = 2 E_1 \cos \theta = 2 \cdot \frac{kq}{r^2} \cdot \frac{h}{r} = 2 k q \frac{h}{(a^2 + h^2)^{3/2}} \] --- **Kết quả câu a:** \[ \boxed{ E_M = 2 k q \frac{h}{(a^2 + h^2)^{3/2}} } \] với \(k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\). --- **b) Tìm h để E_M cực đại. Tính giá trị cực đại này** --- **Bước 1: Xét hàm số** \[ E(h) = 2 k q \frac{h}{(a^2 + h^2)^{3/2}} \] Coi \(f(h) = \frac{h}{(a^2 + h^2)^{3/2}}\). --- **Bước 2: Tính đạo hàm của f(h) để tìm cực trị** \[ f(h) = h (a^2 + h^2)^{-3/2} \] Đạo hàm: \[ f'(h) = (a^2 + h^2)^{-3/2} - \frac{3}{2} h \cdot (a^2 + h^2)^{-5/2} \cdot 2h \] \[ = (a^2 + h^2)^{-3/2} - 3 h^2 (a^2 + h^2)^{-5/2} \] \[ = (a^2 + h^2)^{-5/2} \left[ (a^2 + h^2) - 3 h^2 \right] = 0 \] Bỏ \( (a^2 + h^2)^{-5/2} \neq 0 \), ta có: \[ a^2 + h^2 - 3 h^2 = 0 \Rightarrow a^2 - 2 h^2 = 0 \] \[ \Rightarrow 2 h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = \frac{a^2}{2} \Rightarrow h = \frac{a}{\sqrt{2}} \] --- **Bước 3: Tính giá trị cực đại của \(E_M\)** Thay \(h = \frac{a}{\sqrt{2}}\) vào biểu thức: \[ E_{max} = 2 k q \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\left( a^2 + \frac{a^2}{2} \right)^{3/2}} = 2 k q \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\left( \frac{3 a^2}{2} \right)^{3/2}} \] Tính mẫu số: \[ \left( \frac{3 a^2}{2} \right)^{3/2} = \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2} a^3 \] Do đó: \[ E_{max} = 2 k q \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{ \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2} a^3 } = 2 k q \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{ \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2} a^2} \] \[ = 2 k q \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\left( \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \right) a^2} \quad \text{vì} \left( \frac{3}{2} \right)^{3/2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \] Rút gọn: \[ E_{max} = 2 k q \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} a^2} = 2 k q \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3} a^2} \] \[ = 2 k q \cdot \frac{2}{3 \sqrt{3} a^2} = \frac{4 k q}{3 \sqrt{3} a^2} \] --- **Kết quả câu b:** \[ \boxed{ h = \frac{a}{\sqrt{2}}, \quad E_{max} = \frac{4 k q}{3 \sqrt{3} a^2} } \] --- ### Tóm tắt: - Cường độ điện trường tại M: \[ E = 2 k q \frac{h}{(a^2 + h^2)^{3/2}} \] - Khi \(h = \frac{a}{\sqrt{2}}\), điện trường đạt cực đại: \[ E_{max} = \frac{4 k q}{3 \sqrt{3} a^2} \]