Câu $\rm 1.$

Phần a) Giải phương trình \(\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Điều kiện xác định: - Phương trình này không có điều kiện xác định đặc biệt nào khác ngoài miền xác định tự nhiên của hàm cosin. Giải: - Ta biết rằng \(\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(\theta = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Áp dụng vào phương trình đã cho: \[ x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \] Trường hợp 1: \[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \] Trường hợp 2: \[ x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + k2\pi \] \[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Phần b) Giải phương trình \(\tan\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) = \tan\left(-x + \frac{\pi}{3}\right)\) Điều kiện xác định: - Hàm tang xác định khi \(2x - \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) và \(-x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Giải: - Ta biết rằng \(\tan A = \tan B\) khi \(A = B + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Áp dụng vào phương trình đã cho: \[ 2x - \frac{\pi}{6} = -x + \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ 2x + x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + k\pi \] \[ 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ 2x - \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \] \[ 2\left(\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \] \[ \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \] \[ \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + m\pi \] \[ \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \neq \frac{3\pi}{6} + m\pi \] \[ \frac{2k\pi}{3} \neq \frac{2\pi}{6} + m\pi \] \[ \frac{2k\pi}{3} \neq \frac{\pi}{3} + m\pi \] \[ 2k \neq 1 + 3m \] Do đó, \(k\) phải thỏa mãn \(2k \neq 1 + 3m\). Điều này luôn đúng vì \(2k\) luôn chẵn còn \(1 + 3m\) luôn lẻ. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \]