giúp tôi với

Câu 1: Để giải quyết các vấn đề liên quan đến hàm số chi phí $C(x)$ và hàm số doanh thu $R(x)$, ta sẽ phân tích từng phần như sau: a) Chi phí để loại bỏ 25% chất ô nhiễm là 70 triệu đồng. Ta có hàm chi phí: \[ C(x) = \frac{2x+1}{1-\frac{x}{100}} \] Thay $x = 25$ vào hàm $C(x)$: \[ C(25) = \frac{2 \times 25 + 1}{1 - \frac{25}{100}} = \frac{51}{0.75} = 68 \] Kết quả này không khớp với 70 triệu đồng. Có thể có sai sót trong mô hình hoặc dữ liệu. b) Không thể loại bỏ 100% chất ô nhiễm. Điều kiện xác định của hàm $C(x)$ là $1 - \frac{x}{100} \neq 0$, tức là $x \neq 100$. Do đó, không thể loại bỏ 100% chất ô nhiễm vì hàm số không xác định tại $x = 100$. c) Để chi phí không quá 200 triệu đồng thì nhà máy chỉ có thể xử lí tối đa 49,75% chất ô nhiễm. Ta cần giải bất phương trình: \[ C(x) \leq 200 \] Tức là: \[ \frac{2x+1}{1-\frac{x}{100}} \leq 200 \] Giải bất phương trình: \[ 2x + 1 \leq 200 \left(1 - \frac{x}{100}\right) \] \[ 2x + 1 \leq 200 - 2x \] \[ 4x \leq 199 \] \[ x \leq 49.75 \] Vậy, nhà máy chỉ có thể xử lý tối đa 49,75% chất ô nhiễm để chi phí không quá 200 triệu đồng. d) Nếu nhà máy giảm từ 20% chất ô nhiễm trở lên thì doanh thu sẽ tăng lên được biểu diễn bởi hàm $R(x)=12x-240$ (triệu đồng). Khi đó lợi nhuận cho việc loại bỏ chất ô nhiễm có thể đạt hơn 177 triệu đồng. Lợi nhuận $P(x)$ được tính bằng: \[ P(x) = R(x) - C(x) \] Ta cần $P(x) > 177$ triệu đồng, tức là: \[ 12x - 240 - \frac{2x+1}{1-\frac{x}{100}} > 177 \] Giải bất phương trình này để tìm $x$ thỏa mãn điều kiện trên. Tuy nhiên, việc giải bất phương trình này có thể phức tạp và cần sử dụng công cụ tính toán hoặc phần mềm để tìm nghiệm chính xác. Tóm lại, các kết quả chính là: - Không thể loại bỏ 100% chất ô nhiễm. - Để chi phí không quá 200 triệu đồng, chỉ có thể xử lý tối đa 49,75% chất ô nhiễm. - Cần tính toán chi tiết hơn để xác định điều kiện lợi nhuận đạt hơn 177 triệu đồng. Câu 2: a) Đúng. Vì khi giảm giá bán từ 320 nghìn đồng xuống còn 260 nghìn đồng, tức là đã giảm 60 nghìn đồng. Theo khảo sát thị trường, cứ giảm 10 nghìn đồng thì số lượng bán ra tăng thêm 100 chiếc. Vậy khi giảm 60 nghìn đồng, số lượng bán ra sẽ tăng thêm 6 lần 100 chiếc, tức là 600 chiếc. Do đó, tổng số lượng bán ra sẽ là 1500 + 600 = 2100 chiếc. b) Đúng. Hàm doanh thu R(x) được tính bằng giá bán nhân với số lượng bán ra. Ban đầu, giá bán là 320 nghìn đồng và số lượng bán ra là 1500 chiếc. Khi giảm giá 10 nghìn đồng, số lượng bán ra tăng thêm 100 chiếc. Do đó, giá bán mới là 320 - 0,1x (với x là số lượng bán ra) và số lượng bán ra là 1500 + 0,1x. Hàm doanh thu sẽ là: \[ R(x) = (320 - 0,1x)(1500 + 0,1x) \] \[ R(x) = 320 \cdot 1500 + 320 \cdot 0,1x - 0,1x \cdot 1500 - 0,1x \cdot 0,1x \] \[ R(x) = 480000 + 32x - 150x - 0,01x^2 \] \[ R(x) = 480000 - 118x - 0,01x^2 \] \[ R(x) = -0,01x^2 + 470x \] c) Đúng. Hàm lợi nhuận P(x) được tính bằng doanh thu trừ đi chi phí. Chi phí C(x) là 20000 - 10x (nghìn đồng). Do đó, hàm lợi nhuận sẽ là: \[ P(x) = R(x) - C(x) \] \[ P(x) = (-0,01x^2 + 470x) - (20000 - 10x) \] \[ P(x) = -0,01x^2 + 470x - 20000 + 10x \] \[ P(x) = -0,01x^2 + 480x - 20000 \] d) Đúng. Để tìm lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị của x sao cho đạo hàm của P(x) bằng 0. Đạo hàm của P(x) là: \[ P'(x) = -0,02x + 480 \] Đặt P'(x) = 0: \[ -0,02x + 480 = 0 \] \[ -0,02x = -480 \] \[ x = \frac{-480}{-0,02} \] \[ x = 24000 \] Do đó, để lợi nhuận là lớn nhất, nhà sản xuất phải bán được 2400 sản phẩm mỗi tháng. Câu 3: Để giải quyết các phần của bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định. Phần a) Số lượng cá thể của loài đó tại thời điểm khi bắt đầu thiết lập chính sách bảo vệ là 150 con. Ta cần kiểm tra giá trị của \( N(0) \): \[ N(0) = \frac{600}{1 + 30^{-800}} \] Do \( 30^{-800} \) là một số rất nhỏ (tiến về 0), nên: \[ N(0) \approx \frac{600}{1 + 0} = 600 \] Như vậy, khẳng định a) là sai vì số lượng cá thể tại thời điểm bắt đầu thiết lập chính sách bảo vệ là gần 600 con, không phải 150 con. Phần b) Sau khi chính sách bảo vệ được thiết lập, số lượng cá thể của loài đó lúc đầu tăng nhưng sau đó sẽ giảm dần. Ta cần khảo sát sự thay đổi của \( N(t) \) theo thời gian \( t \). Để làm điều này, ta sẽ tìm đạo hàm của \( N(t) \): \[ N(t) = \frac{600}{1 + 30^{-800}} \] Đặt \( f(t) = 1 + 30^{-800} \), ta có: \[ N(t) = \frac{600}{f(t)} \] Tìm đạo hàm \( f'(t) \): \[ f(t) = 1 + 30^{-800} \] \[ f'(t) = -800 \cdot 30^{-800} \cdot \ln(30) \] Do \( 30^{-800} \) là một số rất nhỏ, \( f'(t) \) là âm, nghĩa là \( f(t) \) giảm theo thời gian \( t \). Do đó, \( N(t) \) sẽ tăng theo thời gian \( t \) vì mẫu số \( f(t) \) giảm. Như vậy, khẳng định b) là sai vì số lượng cá thể của loài đó sẽ tiếp tục tăng theo thời gian, không phải lúc đầu tăng rồi giảm dần. Phần c) Cần ít nhất 50 năm kể từ khi chính sách bảo vệ được thiết lập để số lượng cá thể của loài đó sẽ vượt mức 300 con. Ta cần tìm \( t \) sao cho \( N(t) > 300 \): \[ \frac{600}{1 + 30^{-800}} > 300 \] \[ 1 + 30^{-800} < 2 \] \[ 30^{-800} < 1 \] Do \( 30^{-800} \) là một số rất nhỏ, bất đẳng thức trên luôn đúng. Tuy nhiên, để kiểm tra cụ thể, ta cần xem xét giá trị của \( 30^{-800} \) sau 50 năm: \[ 30^{-800} \] sau 50 năm vẫn là một số rất nhỏ, gần bằng 0. Như vậy, \( N(t) \) sẽ luôn lớn hơn 300 con ngay từ đầu, không cần đợi 50 năm. Khẳng định c) là sai vì số lượng cá thể của loài đó đã vượt mức 300 con ngay từ đầu. Phần d) Số lượng cá thể của loài đó không bao giờ vượt quá 600 con. Ta cần kiểm tra giới hạn của \( N(t) \) khi \( t \to \infty \): \[ \lim_{t \to \infty} N(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{600}{1 + 30^{-800}} \] Khi \( t \to \infty \), \( 30^{-800} \to 0 \), nên: \[ \lim_{t \to \infty} N(t) = \frac{600}{1 + 0} = 600 \] Như vậy, số lượng cá thể của loài đó không bao giờ vượt quá 600 con. Khẳng định d) là đúng. Kết luận: - Khẳng định a) là sai. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là đúng. Câu 4: Doanh thu từ việc bán x máy tính bảng là: \[ R(x) = x \cdot p(x) = x(4000 - 10x) = 4000x - 10x^2 \] Chi phí sản xuất x máy tính bảng là: \[ C(x) = x \cdot c(x) = x \left( x^2 - 70x + 400 + \frac{1000}{x} \right) = x^3 - 70x^2 + 400x + 1000 \] Lợi nhuận từ việc bán x máy tính bảng là: \[ P(x) = R(x) - C(x) = (4000x - 10x^2) - (x^3 - 70x^2 + 400x + 1000) \] \[ P(x) = 4000x - 10x^2 - x^3 + 70x^2 - 400x - 1000 \] \[ P(x) = -x^3 + 60x^2 + 3600x - 1000 \] Để tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận \(P(x)\), ta cần tìm đạo hàm của \(P(x)\) và giải phương trình \(P'(x) = 0\). Đạo hàm của \(P(x)\): \[ P'(x) = -3x^2 + 120x + 3600 \] Giải phương trình \(P'(x) = 0\): \[ -3x^2 + 120x + 3600 = 0 \] \[ x^2 - 40x - 1200 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \(a = 1\), \(b = -40\), và \(c = -1200\): \[ x = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 4800}}{2} \] \[ x = \frac{40 \pm \sqrt{6400}}{2} \] \[ x = \frac{40 \pm 80}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{40 + 80}{2} = 60 \] \[ x_2 = \frac{40 - 80}{2} = -20 \] Vì \(x\) phải là số tự nhiên và nằm trong khoảng \([1, 200]\), nên ta chọn \(x = 60\). Kiểm tra giá trị của \(P(x)\) tại \(x = 60\): \[ P(60) = -(60)^3 + 60(60)^2 + 3600(60) - 1000 \] \[ P(60) = -216000 + 216000 + 216000 - 1000 \] \[ P(60) = 215000 \] Vậy, doanh nghiệp sẽ bán 60 máy tính bảng để đạt lợi nhuận cao nhất.