giải các câu hỏi

Câu 3: Để tìm giá trị lớn nhất \( M \) và giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 2]\), ta cần xem xét bảng biến thiên của hàm số. 1. Xác định các giá trị của hàm số tại các điểm quan trọng: - Tại \( x = -1 \), \( f(x) = 2 \). - Tại \( x = 0 \), \( f(x) = 0 \). - Tại \( x = 2 \), \( f(x) = 1 \). 2. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn \([-1; 2]\): - Giá trị của hàm số tại các điểm \( x = -1, 0, 2 \) lần lượt là \( 2, 0, 1 \). - Giá trị lớn nhất \( M = 2 \) (đạt được khi \( x = -1 \)). - Giá trị nhỏ nhất \( m = 0 \) (đạt được khi \( x = 0 \)). 3. Tính tổng \( M + m \): \[ M + m = 2 + 0 = 2 \] Vậy, \( M + m = 2 \). Đáp án đúng là B. 2. Câu 4: Để xác định giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\), ta cần phân tích bảng biến thiên. 1. Xét các điểm tới hạn và giá trị biên: - Tại \( x = -1 \), \( y = 0 \). - Tại \( x = 0 \), \( y = 5 \). - Tại \( x = 2 \), \( y = 1 \). - Tại \( x = 3 \), \( y = 4 \). 2. Phân tích bảng biến thiên: - Trên khoảng \((-1, 0)\), \( f(x) \) tăng từ 0 đến 5. - Tại \( x = 0 \), \( f(x) = 5 \). - Trên khoảng \((0, 2)\), \( f(x) \) giảm từ 5 xuống 1. - Tại \( x = 2 \), \( f(x) = 1 \). - Trên khoảng \((2, 3)\), \( f(x) \) tăng từ 1 đến 4. - Tại \( x = 3 \), \( f(x) = 4 \). 3. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 3]\) là 5, đạt được khi \( x = 0 \). Vậy, khẳng định đúng là \( A.~\max f(x) = f(0) \). Câu 5: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) để xác định các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \). Phân tích bảng xét dấu: 1. Khoảng \((- \infty, -1)\): \( f'(x) < 0 \) nên hàm số \( f(x) \) giảm. 2. Tại \( x = -1 \): \( f'(x) = 0 \), có thể là điểm cực trị. 3. Khoảng \((-1, 0)\): \( f'(x) < 0 \) nên hàm số \( f(x) \) tiếp tục giảm. 4. Tại \( x = 0 \): \( f'(x) = 0 \), có thể là điểm cực trị. 5. Khoảng \((0, 1)\): \( f'(x) > 0 \) nên hàm số \( f(x) \) tăng. 6. Tại \( x = 1 \): \( f'(x) = 0 \), có thể là điểm cực trị. 7. Khoảng \((1, +\infty)\): \( f'(x) < 0 \) nên hàm số \( f(x) \) giảm. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): Hàm số giảm trước và sau điểm này, nên không phải là cực trị. - Tại \( x = 0 \): Hàm số giảm trước và tăng sau điểm này, nên đây là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): Hàm số tăng trước và giảm sau điểm này, nên đây là điểm cực đại. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( f(0) \), đạt được khi \( x = 0 \). - Giá trị lớn nhất của hàm số là \( f(1) \), đạt được khi \( x = 1 \). Do đó, mệnh đề đúng là: \[ B.~\max f(x) = f(1) \] Câu 6: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0;4]\), chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) để xác định các điểm cực trị và so sánh giá trị của hàm số tại các điểm này cùng với các đầu mút của đoạn. Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = -x(x-2)^3(x-3) \] Ta sẽ tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -x(x-2)^3(x-3) = 0 \] Phương trình này có nghiệm: \[ x = 0, \quad x = 2, \quad x = 3 \] Bây giờ, ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \((-\infty, 0)\), \((0, 2)\), \((2, 3)\), và \((3, +\infty)\). 1. Trên khoảng \((-\infty, 0)\): - \( x < 0 \) - \( (x-2)^3 < 0 \) - \( (x-3) < 0 \) - Do đó, \( f'(x) > 0 \) 2. Trên khoảng \((0, 2)\): - \( 0 < x < 2 \) - \( (x-2)^3 < 0 \) - \( (x-3) < 0 \) - Do đó, \( f'(x) < 0 \) 3. Trên khoảng \((2, 3)\): - \( 2 < x < 3 \) - \( (x-2)^3 > 0 \) - \( (x-3) < 0 \) - Do đó, \( f'(x) > 0 \) 4. Trên khoảng \((3, +\infty)\): - \( x > 3 \) - \( (x-2)^3 > 0 \) - \( (x-3) > 0 \) - Do đó, \( f'(x) < 0 \) Từ đó, ta thấy rằng: - Hàm số tăng trên khoảng \((-\infty, 0)\) và \((2, 3)\). - Hàm số giảm trên khoảng \((0, 2)\) và \((3, +\infty)\). Do đó, các điểm cực trị của hàm số là: - Cực đại tại \( x = 0 \) và \( x = 3 \) - Cực tiểu tại \( x = 2 \) Bây giờ, ta so sánh giá trị của hàm số tại các điểm này cùng với các đầu mút của đoạn \([0;4]\): - Tại \( x = 0 \): \( f(0) \) - Tại \( x = 2 \): \( f(2) \) - Tại \( x = 3 \): \( f(3) \) - Tại \( x = 4 \): \( f(4) \) Vì hàm số tăng trên khoảng \((2, 3)\) và giảm trên khoảng \((3, +\infty)\), nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0;4]\) sẽ đạt được tại \( x = 3 \). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0;4]\) là \( f(3) \). Đáp án đúng là: \( D.~f(3) \) Câu 7: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 21x \) trên đoạn \([2; 19]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3x^2 - 21 \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 21 = 0 \implies 3x^2 = 21 \implies x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7} \] Vì \( x \) nằm trong đoạn \([2; 19]\), nên chỉ lấy \( x = \sqrt{7} \). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 21 \cdot 2 = 8 - 42 = -34 \] - Tại \( x = \sqrt{7} \): \[ f(\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^3 - 21 \cdot \sqrt{7} = 7\sqrt{7} - 21\sqrt{7} = -14\sqrt{7} \] - Tại \( x = 19 \): \[ f(19) = 19^3 - 21 \cdot 19 = 6859 - 399 = 6460 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(2) = -34 \) - \( f(\sqrt{7}) = -14\sqrt{7} \approx -36.5 \) - \( f(19) = 6460 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -14\sqrt{7} \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 21x \) trên đoạn \([2; 19]\) là: \[ \boxed{-14\sqrt{7}} \] Câu 8: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 10x^2 - 2 \) trên đoạn \([0; 9]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 10x^2 - 2) = 4x^3 - 20x \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 20x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 5) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 5 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{5} \] 3. Loại bỏ các điểm không thuộc đoạn \([0; 9]\): Các điểm tới hạn trong đoạn \([0; 9]\) là: \[ x = 0 \quad \text{và} \quad x = \sqrt{5} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 10 \cdot 0^2 - 2 = -2 \] - Tại \( x = \sqrt{5} \): \[ f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 - 2 = 25 - 50 - 2 = -27 \] - Tại \( x = 9 \): \[ f(9) = 9^4 - 10 \cdot 9^2 - 2 = 6561 - 810 - 2 = 5749 \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ f(0) = -2, \quad f(\sqrt{5}) = -27, \quad f(9) = 5749 \] Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là \(-27\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^4 - 10x^2 - 2 \) trên đoạn \([0; 9]\) là \(-27\). Đáp án đúng là: D. -27. Câu 9: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \frac{x+1}{2x-1} \) trên đoạn \([-2; 0]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x+1}{2x-1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x-1) \cdot 1 - (x+1) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x - 2}{(2x-1)^2} = \frac{-3}{(2x-1)^2} \] 2. Xác định điểm tới hạn: Đạo hàm \( y' \) không bao giờ bằng 0 vì tử số luôn âm (\(-3\)). Tuy nhiên, đạo hàm không xác định khi mẫu số bằng 0: \[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] Nhưng \( x = \frac{1}{2} \) không nằm trong đoạn \([-2; 0]\). 3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = \frac{-2 + 1}{2(-2) - 1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} \] - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{0 + 1}{2(0) - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - Giá trị tại \( x = -2 \) là \( \frac{1}{5} \) - Giá trị tại \( x = 0 \) là \( -1 \) Do đó, giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên đoạn \([-2; 0]\) là \( \frac{1}{5} \) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) là \( -1 \). 5. Tính giá trị của \( 15M + m \): \[ 15M + m = 15 \left(\frac{1}{5}\right) + (-1) = 3 - 1 = 2 \] Vậy giá trị của \( 15M + m \) là \( 2 \). Đáp án: \( \boxed{B. 2} \) Câu 10: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{-x^2 + x - 6}{x + 1} \) trên đoạn \([0; 3]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{-x^2 + x - 6}{x + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(-2x + 1)(x + 1) - (-x^2 + x - 6)}{(x + 1)^2} \] Tính tử số: \[ (-2x + 1)(x + 1) - (-x^2 + x - 6) = -2x^2 - 2x + x + 1 + x^2 - x + 6 = -x^2 - 2x + 7 \] Vậy: \[ y' = \frac{-x^2 - 2x + 7}{(x + 1)^2} \] 2. Tìm các điểm tới hạn: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{-x^2 - 2x + 7}{(x + 1)^2} = 0 \] Giải phương trình: \[ -x^2 - 2x + 7 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta giải bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = -1 \), \( b = -2 \), \( c = 7 \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{-2} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{-2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{-2} = -1 \pm 2\sqrt{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = -1 + 2\sqrt{2}, \quad x_2 = -1 - 2\sqrt{2} \] Chỉ có \( x_1 = -1 + 2\sqrt{2} \) nằm trong đoạn \([0; 3]\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn: - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{-0^2 + 0 - 6}{0 + 1} = -6 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = \frac{-3^2 + 3 - 6}{3 + 1} = \frac{-9 + 3 - 6}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \] - Tại \( x = -1 + 2\sqrt{2} \): \[ y(-1 + 2\sqrt{2}) = \frac{-(-1 + 2\sqrt{2})^2 + (-1 + 2\sqrt{2}) - 6}{-1 + 2\sqrt{2} + 1} \] Tính tử số: \[ -(-1 + 2\sqrt{2})^2 + (-1 + 2\sqrt{2}) - 6 = -(1 - 4\sqrt{2} + 8) - 1 + 2\sqrt{2} - 6 = -9 + 4\sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2} - 6 = -16 + 6\sqrt{2} \] Mẫu số: \[ -1 + 2\sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} \] Vậy: \[ y(-1 + 2\sqrt{2}) = \frac{-16 + 6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{-16}{2\sqrt{2}} + \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -8/\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(0) = -6 \) - \( y(3) = -3 \) - \( y(-1 + 2\sqrt{2}) = 3 - 4\sqrt{2} \) So sánh các giá trị này, ta thấy: \[ 3 - 4\sqrt{2} \approx 3 - 5.656 = -2.656 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) là \( 3 - 4\sqrt{2} \). Đáp án: \( C.~3 - 4\sqrt{2} \)