giải các câu hỏi

Câu 8: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x - 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x - 3) = 3x^2 - 6x - 9 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Từ đó, ta có: \[ x = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số để kiểm tra tính chất của các điểm dừng: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 9) = 6x - 6 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại các điểm dừng: - Tại \( x = 3 \): \[ y''(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 \] Vì \( y''(3) > 0 \), nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) - 6 = -6 - 6 = -12 < 0 \] Vì \( y''(-1) < 0 \), nên hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \). Vậy, hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x - 3 \) đạt cực tiểu tại \( x = 3 \). Đáp án: B. 3. Câu 9: Để xác định hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một cách chi tiết. Hàm số A: \( y = x^4 \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 4x^3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 = 0 \implies x = 0 \] 3. Kiểm tra dấu của \( y' \) xung quanh điểm \( x = 0 \): - Khi \( x < 0 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 0 \), \( y' > 0 \) Do đó, \( y \) có cực tiểu tại \( x = 0 \). Hàm số B: \( y = -x^3 + x \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = -3x^2 + 1 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] 3. Kiểm tra dấu của \( y' \) xung quanh các điểm \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \): - Khi \( x < -\frac{1}{\sqrt{3}} \), \( y' < 0 \) - Khi \( -\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( y' < 0 \) Do đó, \( y \) có cực đại tại \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) và cực tiểu tại \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Hàm số C: \( y = \frac{2x-3}{x+2} \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{(2)(x+2) - (2x-3)(1)}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x + 3}{(x+2)^2} = \frac{7}{(x+2)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{7}{(x+2)^2} = 0 \] Phương trình này không có nghiệm vì tử số luôn khác 0. Do đó, \( y \) không có cực trị. Hàm số D: \( y = \frac{3x^2 + x - 4}{x + 2} \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{(6x + 1)(x + 2) - (3x^2 + x - 4)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{6x^2 + 12x + x + 2 - 3x^2 - x + 4}{(x + 2)^2} = \frac{3x^2 + 12x + 6}{(x + 2)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 12x + 6 = 0 \implies x^2 + 4x + 2 = 0 \implies x = -2 \pm \sqrt{2} \] 3. Kiểm tra dấu của \( y' \) xung quanh các điểm \( x = -2 + \sqrt{2} \) và \( x = -2 - \sqrt{2} \): - Khi \( x < -2 - \sqrt{2} \), \( y' < 0 \) - Khi \( -2 - \sqrt{2} < x < -2 + \sqrt{2} \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > -2 + \sqrt{2} \), \( y' < 0 \) Do đó, \( y \) có cực đại tại \( x = -2 - \sqrt{2} \) và cực tiểu tại \( x = -2 + \sqrt{2} \). Kết luận: Hàm số không có cực trị là: \[ \boxed{C.~y=\frac{2x-3}{x+2}} \] Câu 10: Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} \), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x - 2 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq 2 \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số có dạng phân thức, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y = \frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \] Với \( u(x) = -x^2 + 2x - 4 \) và \( v(x) = x - 2 \), ta có: - \( u'(x) = -2x + 2 \) - \( v'(x) = 1 \) Do đó, đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{(-2x + 2)(x - 2) - (-x^2 + 2x - 4)(1)}{(x - 2)^2} \] Rút gọn tử số: \[ (-2x + 2)(x - 2) = -2x^2 + 4x + 2x - 4 = -2x^2 + 6x - 4 \] \[ -(-x^2 + 2x - 4) = x^2 - 2x + 4 \] Tử số của đạo hàm là: \[ -2x^2 + 6x - 4 + x^2 - 2x + 4 = -x^2 + 4x \] Vậy: \[ y' = \frac{-x^2 + 4x}{(x - 2)^2} \] Bước 3: Tìm điểm cực đại Để tìm điểm cực đại, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0 \] Do đó, \( x = 0 \) hoặc \( x = 4 \). Bước 4: Xét dấu đạo hàm để xác định cực đại - Với \( x = 0 \), ta có \( y'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \( x = 0 \), do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Với \( x = 4 \), ta có \( y'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \( x = 4 \), do đó \( x = 4 \) là điểm cực tiểu. Bước 5: Tính giá trị hàm số tại điểm cực đại Tại \( x = 0 \), giá trị của hàm số là: \[ y(0) = \frac{-0^2 + 2 \cdot 0 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2 \] Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là \( N(0; 2) \). Kết luận: Điểm cực đại của đồ thị hàm số là \( N(0; 2) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~N(0;2) \). Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \). 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các giá trị của \( x \). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \). Ta có: \[ y = x^3 - 3x + 2 \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2) \] \[ y' = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các giá trị của \( x \). Ta có: \[ y' = 3x^2 - 3 \] Giải phương trình: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3x^2 = 3 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Vậy, các giá trị của \( x \) thỏa mãn \( y' = 0 \) là \( x = -1 \) hoặc \( x = 1 \). Kết luận: \[ a)~y' = 3x^2 - 3 \] \[ b)~y' = 0 \text{ khi } x = -1 \text{ hoặc } x = 1 \]