Hãy giải giúp tôi

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 1. Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = L$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$. Dựa vào định nghĩa trên, chúng ta sẽ phân tích các giới hạn đã cho: - $\lim_{x \rightarrow f(x)=1}f(x)=1$: Đây là một cách viết không chính xác, có thể là một lỗi đánh máy. Tuy nhiên, nếu hiểu theo cách thông thường, điều này không liên quan đến tiệm cận ngang vì nó không phải là giới hạn khi $x \to \infty$ hoặc $x \to -\infty$. - $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=-1$: Điều này cho thấy rằng khi $x$ tiến tới dương vô cùng, giá trị của hàm số $f(x)$ tiến tới $-1$. Do đó, đường thẳng $y = -1$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Từ phân tích trên, ta có thể kết luận rằng đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y = -1$. Do đó, khẳng định đúng là: C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. Câu 2: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \), chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \). 1. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to +\infty \), các hạng tử \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x+1} \] Tương tự như trên, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{x-2}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các hạng tử \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \) là \( y = 1 \). Đáp án đúng là: \( B. ~ y = 1 \). Câu 3: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x + 1}{x - 1} \), ta cần tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \). Ta có: \[ y = \frac{3x + 1}{x - 1} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ y = \frac{3 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \pm\infty \), các số hạng \(\frac{1}{x}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3 \] Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = 3 \). Đáp án đúng là: \( B.~y=3 \). Câu 4: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x+2}{x-1} \), chúng ta cần xác định các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng không, vì đó là nơi xảy ra tiệm cận đứng. Mẫu số của hàm số là \( x - 1 \). Ta giải phương trình: \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x+2}{x-1} \) là \( x = 1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~x=1. \] Câu 5: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{x-3} \), chúng ta cần xác định các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng không vì tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng không và tử số khác không. 1. Xác định mẫu số: Mẫu số của hàm số \( y = \frac{x-1}{x-3} \) là \( x - 3 \). 2. Tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng không: \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] 3. Kiểm tra tử số tại \( x = 3 \): Tử số của hàm số là \( x - 1 \). Thay \( x = 3 \) vào tử số: \[ 3 - 1 = 2 \neq 0 \] Vì tử số khác không tại \( x = 3 \), nên \( x = 3 \) là tiệm cận đứng của hàm số. Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{x-3} \) là \( x = 3 \). Đáp án đúng là: \( D.~x=3 \). Câu 6: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x-2}{x+1} \), chúng ta cần xác định các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng không, vì đó là nơi xảy ra tiệm cận đứng. Mẫu số của hàm số là \( x + 1 \). Ta giải phương trình: \[ x + 1 = 0 \] \[ x = -1 \] Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x-2}{x+1} \) là \( x = -1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~x = -1 \] Câu 7: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{x+3} \), chúng ta cần xác định các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng không, vì đó là nơi xảy ra tiệm cận đứng. Mẫu số của hàm số là \( x + 3 \). Ta giải phương trình: \[ x + 3 = 0 \] \[ x = -3 \] Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{x+3} \) là \( x = -3 \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~x = -3 \] Câu 8: Để xác định tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần phân tích bảng biến thiên đã cho. 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xuất hiện khi hàm số có giới hạn vô cực tại một điểm nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to 0^- \), \( y \to -\infty \). - Khi \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \). - Vậy \( x = 0 \) là tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang xuất hiện khi hàm số có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \pm\infty \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to 1 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to 3 \). - Vậy có hai tiệm cận ngang là \( y = 1 \) và \( y = 3 \). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \( 1 + 2 = 3 \). Vậy đáp án đúng là: B. 3. Câu 9: Để xác định tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( f(x) \), ta dựa vào bảng biến thiên đã cho. 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xảy ra khi hàm số có giới hạn vô cùng tại một điểm nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to 0^- \) và \( x \to 0^+ \), \( y \to -\infty \) và \( y \to +\infty \) tương ứng. Điều này cho thấy có một tiệm cận đứng tại \( x = 0 \). 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang xảy ra khi hàm số có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \pm\infty \). - Từ bảng biến thiên, khi \( x \to -\infty \), \( y \to 0 \) và khi \( x \to +\infty \), \( y \to 2 \). Điều này cho thấy có hai tiệm cận ngang: \( y = 0 \) và \( y = 2 \). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \( 1 + 2 = 3 \). Vậy đáp án đúng là D. 3. Câu 10: Để xác định tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần phân tích bảng biến thiên đã cho. 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xuất hiện khi hàm số có giới hạn vô cực tại một điểm nào đó. - Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to 1^- \) và \( x \to 1^+ \), \( y \to -\infty \) và \( y \to +\infty \). - Điều này cho thấy \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang xuất hiện khi hàm số có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \pm\infty \). - Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to 2 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to 2 \). - Điều này cho thấy \( y = 2 \) là tiệm cận ngang. Tổng kết lại, hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. Vậy, tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \( 1 + 1 = 2 \). Đáp án đúng là: D. 2.