Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2$ và $y = 2x - x^2.$

Question

Accepted Answer

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $ y = x^2 $ và $ y = 2x - x^2 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị

Ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

$$
x^2 = 2x - x^2
$$

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta có:

$$
x^2 + x^2 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 2x = 0
$$

Rút gọn phương trình:

$$
2x(x - 1) = 0
$$

Phương trình này có hai nghiệm:

$$
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1
$$

Bước 2: Xác định miền giới hạn

Miền giới hạn bởi hai đồ thị là đoạn từ $ x = 0 $ đến $ x = 1 $.

Bước 3: Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng được tính bằng tích phân của hiệu hai hàm số từ $ x = 0 $ đến $ x = 1 $:

$$
A = \int_{0}^{1} \left( (2x - x^2) - x^2 \right) \, dx
$$

Rút gọn biểu thức trong tích phân:

$$
A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) \, dx
$$

Tính tích phân:

$$
A = \int_{0}^{1} 2x \, dx - \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx
$$

Tính từng tích phân:

1. $\int 2x \, dx = x^2 + C$

2. $\int 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}x^3 + C$

Áp dụng giới hạn từ 0 đến 1:

$$
A = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} - \left[ \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{1}
$$

Tính giá trị:

$$
A = (1^2 - 0^2) - \left( \frac{2}{3} \times 1^3 - \frac{2}{3} \times 0^3 \right)
$$

$$
A = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
$$

Vậy, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là $ \frac{1}{3} $.