Tìm tất cả các giá trị của x sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 2 tại điểm (x, y) đi qua điểm P(0; 1).

Để tìm tất cả các giá trị của \( x \) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) tại điểm \((x, y)\) đi qua điểm \( P(0; 1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) là: \[ y' = 3x^2 - 3 \] 2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm \((x_0, y_0)\): Giả sử tiếp tuyến tại điểm \((x_0, y_0)\) có dạng: \[ y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 \] Trong đó, \( y_0 = x_0^3 - 3x_0 + 2 \) và \( y'(x_0) = 3x_0^2 - 3 \). Do đó, phương trình tiếp tuyến là: \[ y = (3x_0^2 - 3)(x - x_0) + (x_0^3 - 3x_0 + 2) \] 3. Điều kiện tiếp tuyến đi qua điểm \( P(0; 1) \): Thay tọa độ điểm \( P(0; 1) \) vào phương trình tiếp tuyến: \[ 1 = (3x_0^2 - 3)(0 - x_0) + (x_0^3 - 3x_0 + 2) \] Giải phương trình: \[ 1 = -3x_0^3 + 3x_0^2 + x_0^3 - 3x_0 + 2 \] \[ 1 = -2x_0^3 + 3x_0^2 - 3x_0 + 2 \] \[ -2x_0^3 + 3x_0^2 - 3x_0 + 1 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc ba: Ta cần giải phương trình: \[ -2x_0^3 + 3x_0^2 - 3x_0 + 1 = 0 \] Sử dụng phương pháp thử nghiệm nghiệm nguyên, ta thấy \( x_0 = 1 \) là một nghiệm của phương trình. Thử lại: \[ -2(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) + 1 = -2 + 3 - 3 + 1 = -1 \neq 0 \] Thử lại với \( x_0 = 1 \): \[ -2(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) + 1 = -2 + 3 - 3 + 1 = -1 \neq 0 \] Thử lại với \( x_0 = 0 \): \[ -2(0)^3 + 3(0)^2 - 3(0) + 1 = 1 \] Thử lại với \( x_0 = -1 \): \[ -2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 3 + 1 = 9 \neq 0 \] Thử lại với \( x_0 = 2 \): \[ -2(2)^3 + 3(2)^2 - 3(2) + 1 = -16 + 12 - 6 + 1 = -9 \neq 0 \] Thử lại với \( x_0 = -2 \): \[ -2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 16 + 12 + 6 + 1 = 35 \neq 0 \] Thử lại với \( x_0 = 3 \): \[ -2(3)^3 + 3(3)^2 - 3(3) + 1 = -54 + 27 - 9 + 1 = -35 \neq 0 \] Thử lại với \( x_0 = -3 \): \[ -2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 3(-3) + 1 = 54 + 27 + 9 + 1 = 91 \neq 0 \] Thử lại với \( x_0 = 0.5 \): \[ -2(0.5)^3 + 3(0.5)^2 - 3(0.5) + 1 = -0.25 + 0.75 - 1.5 + 1 = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x_0 = 0.5 \). 5. Kết luận: Giá trị của \( x \) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) tại điểm \((x, y)\) đi qua điểm \( P(0; 1) \) là \( x = 0.5 \).