Giải giúp em vs ạ

Câu 1: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến đồ thị của hàm số \( f'(x) \), ta cần phân tích đồ thị này để suy ra các tính chất của hàm số \( f(x) \). a) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị. - Điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) xảy ra khi \( f'(x) = 0 \) và đổi dấu. - Quan sát đồ thị \( f'(x) \), ta thấy \( f'(x) = 0 \) tại hai điểm: \( x = 0 \) và \( x = 2 \). - Tại \( x = 0 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. - Vậy hàm số \( f(x) \) có 2 điểm cực trị. b) Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \((-1;1)\). - Hàm số \( f(x) \) đồng biến khi \( f'(x) > 0 \). - Trên khoảng \((-1;1)\), đồ thị \( f'(x) \) nằm trên trục hoành, tức là \( f'(x) > 0 \). - Do đó, hàm số \( f(x) \) đồng biến trên \((-1;1)\). c) Hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x=1 \). - Như đã phân tích ở phần a), hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 0 \), không phải tại \( x = 1 \). - Do đó, câu này sai. d) \(\max_{(-1;4)}f(x)=f(1)\). - Để tìm giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên khoảng \((-1;4)\), ta cần xem xét các điểm cực trị và giá trị biên. - Các điểm cần xét là \( x = 0 \), \( x = 2 \), và các giá trị biên \( x = -1 \), \( x = 4 \). - Tuy nhiên, không có thông tin cụ thể về giá trị của \( f(x) \) tại các điểm này, nhưng từ đồ thị \( f'(x) \), ta biết: - \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 0 \). - \( f(x) \) đồng biến trên \((-1;1)\), nên \( f(1) > f(-1) \). - \( f(x) \) nghịch biến trên \((1;2)\), nên \( f(1) > f(2) \). - Do đó, \( f(1) \) có thể là giá trị lớn nhất trên khoảng \((-1;4)\). Kết luận: Câu a, b đúng; câu c sai; câu d có thể đúng tùy thuộc vào giá trị cụ thể của \( f(x) \) tại các điểm biên. Câu 2: Để giải quyết các khẳng định về hàm số \( f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = -x(x-2)^2(x-3) \), chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau: Bước 1: Xác định các điểm dừng Điểm dừng của hàm số là các giá trị của \( x \) mà tại đó đạo hàm \( f'(x) = 0 \). \[ f'(x) = -x(x-2)^2(x-3) = 0 \] Giải phương trình này, ta có: \[ -x(x-2)^2(x-3) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-2)^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x-3 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Vậy các điểm dừng của hàm số là \( x = 0, x = 2, x = 3 \). Bước 2: Xét dấu của đạo hàm Ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng xác định bởi các điểm dừng \( x = 0, x = 2, x = 3 \). Khoảng \( (-\infty, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = -(-1)((-1)-2)^2((-1)-3) = -(-1)(-3)^2(-4) = -(-1)(9)(-4) = -36 \] \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (-\infty, 0) \). Khoảng \( (0, 2) \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = -(1)((1)-2)^2((1)-3) = -(1)(-1)^2(-2) = -(1)(1)(-2) = 2 \] \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (0, 2) \). Khoảng \( (2, 3) \): Chọn \( x = 2.5 \): \[ f'(2.5) = -(2.5)((2.5)-2)^2((2.5)-3) = -(2.5)(0.5)^2(-0.5) = -(2.5)(0.25)(-0.5) = 0.3125 \] \( f'(x) > 0 \) trong khoảng \( (2, 3) \). Khoảng \( (3, \infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = -(4)((4)-2)^2((4)-3) = -(4)(2)^2(1) = -(4)(4)(1) = -16 \] \( f'(x) < 0 \) trong khoảng \( (3, \infty) \). Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu và cực trị Dựa vào dấu của đạo hàm, ta có: - Hàm số giảm trên khoảng \( (-\infty, 0) \). - Hàm số tăng trên khoảng \( (0, 2) \). - Hàm số tăng trên khoảng \( (2, 3) \). - Hàm số giảm trên khoảng \( (3, \infty) \). Do đó, hàm số có ba điểm cực trị: - Cực tiểu tại \( x = 0 \). - Cực đại tại \( x = 2 \). - Cực tiểu tại \( x = 3 \). Bước 4: Kiểm tra các khẳng định a) \( \min_{x \in (-\infty; 2)} f(x) = f(0) \) Hàm số giảm trên \( (-\infty, 0) \) và tăng trên \( (0, 2) \), nên \( f(0) \) là giá trị nhỏ nhất trên khoảng \( (-\infty, 2) \). b) \( \max_{x \in [0; 4]} f(x) = f(3) \) Hàm số tăng trên \( (0, 2) \) và \( (2, 3) \), sau đó giảm trên \( (3, \infty) \), nên \( f(3) \) là giá trị lớn nhất trên đoạn \( [0, 4] \). c) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; 3) \) Hàm số tăng trên \( (0, 2) \) và \( (2, 3) \), nên hàm số đồng biến trên khoảng \( (0, 3) \). d) Hàm số có ba điểm cực trị Đã kiểm tra ở trên, hàm số có ba điểm cực trị tại \( x = 0, x = 2, x = 3 \). Kết luận Các khẳng định đúng là: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi dựa trên bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \), ta cần phân tích từng phần như sau: a) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng \((-∞; 2)\): - Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \((-∞; 0)\) và \((3; +∞)\). - Tuy nhiên, trên khoảng \((0; 3)\), \( f'(x) < 0 \). - Do đó, hàm số không đồng biến trên khoảng \((-∞; 2)\) vì khoảng này bao gồm cả phần mà \( f'(x) < 0 \). Kết luận: Mệnh đề a) sai. b) Hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = -4 \): - Dựa vào bảng biến thiên, tại \( x = 0 \), \( f(x) \) đạt giá trị cực đại là 2. - Tại \( x = 3 \), \( f(x) \) đạt giá trị cực tiểu là -4. Kết luận: Mệnh đề b) sai. c) Đồ thị hàm số \( y = f(x) \) không có tiệm cận: - Bảng biến thiên không cung cấp thông tin về tiệm cận đứng hay ngang. - Tuy nhiên, nếu hàm số có tiệm cận ngang, giá trị của hàm số khi \( x \to \pm \infty \) phải tiến tới một hằng số, điều này không thể hiện rõ trong bảng biến thiên. Kết luận: Không đủ thông tin để kết luận mệnh đề c) đúng hay sai. d) Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên khoảng \((0; 3)\) bằng 2: - Trên khoảng \((0; 3)\), \( f'(x) < 0 \), nghĩa là hàm số giảm. - Tại \( x = 0 \), \( f(x) = 2 \) là giá trị cực đại. - Do đó, giá trị lớn nhất trên khoảng \((0; 3)\) là 2. Kết luận: Mệnh đề d) đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) không đủ thông tin. - Mệnh đề d) đúng.