Giai giup to voi

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số \( f(x) = \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} \). 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x - 2 \neq 0 \] Do đó, \( x \neq 2 \). 2. Tìm tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại điểm đó. Ở đây, mẫu số bằng 0 khi \( x = 2 \). Kiểm tra tử số tại \( x = 2 \): \[ -x^2 + 2x - 4 = -(2)^2 + 2 \times 2 - 4 = -4 + 4 - 4 = -4 \neq 0 \] Vậy, hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). 3. Tìm tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). - Tử số: \(-x^2 + 2x - 4\) - Mẫu số: \(x - 2\) Khi \( x \to \pm \infty \), bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số (bậc 2 so với bậc 1), do đó không có tiệm cận ngang. 4. Tìm tiệm cận xiên Vì bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số, ta có thể tìm tiệm cận xiên bằng cách thực hiện phép chia đa thức: Chia \(-x^2 + 2x - 4\) cho \(x - 2\): 1. Chia \(-x^2\) cho \(x\), được \(-x\). 2. Nhân \(-x\) với \(x - 2\), được \(-x^2 + 2x\). 3. Trừ \(-x^2 + 2x\) từ \(-x^2 + 2x - 4\), được \(-4\). Vậy, kết quả của phép chia là \(-x + 0\) với dư là \(-4\). Do đó, tiệm cận xiên là \(y = -x\). 5. Đạo hàm và bảng biến thiên Tính đạo hàm của hàm số: \[ f(x) = \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(-2x + 2)(x - 2) - (-x^2 + 2x - 4)(1)}{(x - 2)^2} \] Tính toán: \[ f'(x) = \frac{(-2x^2 + 4x + 2x - 4) - (-x^2 + 2x - 4)}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{-2x^2 + 6x - 4 + x^2 - 2x + 4}{(x - 2)^2} \] \[ = \frac{-x^2 + 4x}{(x - 2)^2} \] Bảng biến thiên: - Xét dấu của \( f'(x) \): - \( f'(x) = 0 \) khi \(-x^2 + 4x = 0\) - Giải phương trình: \( x(x - 4) = 0 \) cho \( x = 0 \) hoặc \( x = 4 \). - Bảng biến thiên: \[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & 0 & 2 & 4 & +\infty \\ \hline f'(x) & + & 0 & \text{không xác định} & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & 0 & \text{tiệm cận đứng} & \searrow & -\infty \\ \end{array} \] 6. Vẽ đồ thị - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). - Tiệm cận xiên là đường thẳng \( y = -x \). - Đồ thị đi qua điểm \( (0, 2) \) và \( (4, 0) \). Với các thông tin trên, bạn có thể vẽ đồ thị hàm số. Đồ thị sẽ có dạng hyperbol, với một nhánh đi từ \( x = -\infty \) đến \( x = 2 \) và một nhánh khác từ \( x = 2 \) đến \( x = +\infty \), tiệm cận với đường thẳng \( y = -x \).