giúp mình với

Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi dựa trên bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \), ta cần phân tích từng phần như sau: a) Đồ thị hàm số \( y = f(x) \) có đúng hai đường tiệm cận. Phân tích: - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to -1^- \) và \( x \to -1^+ \), \( y \to +\infty \) và \( y \to -\infty \) tương ứng. Điều này cho thấy có một tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). - Khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). Điều này không cho thấy có tiệm cận ngang hay xiên. Kết luận: Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). Do đó, mệnh đề a) sai. b) Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên \( (3;+\infty) \). Phân tích: - Từ bảng biến thiên, trên khoảng \( (3;+\infty) \), dấu của \( y' \) là dương, cho thấy hàm số đồng biến trên khoảng này. Kết luận: Mệnh đề b) đúng. c) Hàm số \( y = f(x) \) có đúng một điểm cực trị. Phân tích: - Từ bảng biến thiên, hàm số có một điểm cực tiểu tại \( x = 3 \) (vì \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương). Kết luận: Mệnh đề c) đúng. d) Giá trị nhỏ nhất của \( h(x) = 2f(x) + 2025x \) trên đoạn \([3;2025]\) bằng 6083. Phân tích: - Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( h(x) \) trên đoạn \([3;2025]\). - Tại \( x = 3 \), \( f(x) \) đạt cực tiểu. Giả sử \( f(3) = -4 \) (từ bảng biến thiên). - Tính \( h(3) = 2f(3) + 2025 \times 3 = 2(-4) + 2025 \times 3 = -8 + 6075 = 6067 \). - Tại \( x = 2025 \), \( h(2025) = 2f(2025) + 2025 \times 2025 \). Không có thông tin cụ thể về \( f(2025) \), nhưng giá trị này sẽ rất lớn do \( 2025 \times 2025 \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( h(x) \) trên đoạn \([3;2025]\) không thể là 6083, vì tại \( x = 3 \), \( h(x) = 6067 \). Do đó, mệnh đề d) sai. Câu 4: Để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận xiên. Bước 1: Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Bước 2: Xác định tiệm cận xiên Để tìm tiệm cận xiên, chúng ta chia tử số cho mẫu số: \[ \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \] Thực hiện phép chia đa thức: \[ x^2 - 2x + 2 = (x - 1)(x - 1) + 1 \] \[ \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần \(\frac{1}{x - 1}\) tiến về 0, do đó tiệm cận xiên là: \[ y = x - 1 \] b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \] Sử dụng quy tắc thương để tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm trên khoảng (0;2) Trên khoảng (0;2): - \( x > 0 \) - \( x - 2 < 0 \) - \( (x - 1)^2 > 0 \) Do đó, \( y' = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} < 0 \) trên khoảng (0;2). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). c) Hàm số có hai điểm cực trị. Bước 1: Tìm các điểm tới hạn Các điểm tới hạn xảy ra khi \( y' = 0 \): \[ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Bước 2: Kiểm tra tính chất của các điểm tới hạn - Tại \( x = 0 \): \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \right) \] Tính đạo hàm bậc hai phức tạp, nhưng ta có thể kiểm tra dấu của \( y' \) trước và sau \( x = 0 \): - Trước \( x = 0 \): \( y' > 0 \) - Sau \( x = 0 \): \( y' < 0 \) Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \): \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \right) \] Tính đạo hàm bậc hai phức tạp, nhưng ta có thể kiểm tra dấu của \( y' \) trước và sau \( x = 2 \): - Trước \( x = 2 \): \( y' < 0 \) - Sau \( x = 2 \): \( y' > 0 \) Do đó, \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có hai điểm cực trị. d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (1; 5] bằng \( \frac{17}{8} \). Bước 1: Tìm giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và giới hạn - Tại \( x = 2 \): \[ y = \frac{2^2 - 2 \cdot 2 + 2}{2 - 1} = \frac{4 - 4 + 2}{1} = 2 \] - Tại \( x = 5 \): \[ y = \frac{5^2 - 2 \cdot 5 + 2}{5 - 1} = \frac{25 - 10 + 2}{4} = \frac{17}{4} \] - Giới hạn khi \( x \to 1^+ \): \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \left( x - 1 + \frac{1}{x - 1} \right) = \infty \] Bước 2: So sánh các giá trị - Tại \( x = 2 \): \( y = 2 \) - Tại \( x = 5 \): \( y = \frac{17}{4} \) - Giới hạn khi \( x \to 1^+ \): \( y \to \infty \) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (1; 5] là \( \frac{17}{4} \), đạt được khi \( x = 5 \). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu giá trị lớn nhất bằng \( \frac{17}{8} \), do đó có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại. Câu 5: a) Ta có: \[ f'(x) = e^x - 3 \] b) Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn \([0; 3]\): \[ f(0) = e^0 - 3 \cdot 0 + 2 = 1 + 2 = 3 \] \[ f(3) = e^3 - 3 \cdot 3 + 2 = e^3 - 9 + 2 = e^3 - 7 \] c) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ e^x - 3 = 0 \] \[ e^x = 3 \] \[ x = \ln 3 \] d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = e^x - 3x + 2 \) trên đoạn \([0; 3]\), ta so sánh giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và tại điểm cực trị \( x = \ln 3 \). Tính giá trị của hàm số tại \( x = \ln 3 \): \[ f(\ln 3) = e^{\ln 3} - 3 \ln 3 + 2 = 3 - 3 \ln 3 + 2 = 5 - 3 \ln 3 \] So sánh các giá trị: \[ f(0) = 3 \] \[ f(3) = e^3 - 7 \] \[ f(\ln 3) = 5 - 3 \ln 3 \] Ta thấy rằng \( 5 - 3 \ln 3 \) là giá trị nhỏ nhất trong ba giá trị trên. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = e^x - 3x + 2 \) trên đoạn \([0; 3]\) là: \[ \boxed{5 - 3 \ln 3} \] Câu 6: a) Ta có \( f(1) = 1 - e^1 = 1 - e \). Vì \( e \approx 2,718 > 1 \), nên \( 1 - e < 0 \). Do đó, \( f(1) < 0 \). b) Đạo hàm của hàm số \( f(x) = x - e^x \) là: \[ f'(x) = 1 - e^x \] Do đó, mệnh đề này sai vì \( f'(x) = 1 - e^x \) chứ không phải \( 1 - e' \). c) Xét phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 1 - e^x = 0 \] \[ e^x = 1 \] \[ x = 0 \] Phương trình này chỉ có một nghiệm duy nhất là \( x = 0 \). Do đó, mệnh đề này sai. d) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x - e^x \) trên đoạn \([-2; 2]\), ta cần xét các điểm cực trị và các đầu mút của đoạn. - Đầu mút \( x = -2 \): \[ f(-2) = -2 - e^{-2} \] - Đầu mút \( x = 2 \): \[ f(2) = 2 - e^2 \] - Điểm cực trị \( x = 0 \): \[ f(0) = 0 - e^0 = -1 \] So sánh các giá trị này: \[ f(-2) = -2 - e^{-2} \approx -2 - 0,135 = -2,135 \] \[ f(2) = 2 - e^2 \approx 2 - 7,389 = -5,389 \] \[ f(0) = -1 \] Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2; 2]\) là \(-1\), đạt được tại \( x = 0 \). Do đó, mệnh đề này sai vì giá trị lớn nhất không phải là \( 1 - e \). Tóm lại: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) sai. Câu 7: Phần a) Ta có: \[ f\left(\frac{1}{e}\right) = \ln \left(\frac{1}{e}\right) - \frac{1}{e} = -1 - \frac{1}{e} = -\frac{e + 1}{e}. \] \[ f(e^2) = \ln (e^2) - e^2 = 2 - e^2. \] Phần b) Đạo hàm của hàm số \( f(x) = \ln x - x \) là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\ln x) - \frac{d}{dx} (x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}. \] Phần c) Hàm số \( f(x) \) nghịch biến khi \( f'(x) < 0 \): \[ \frac{1 - x}{x} < 0. \] Giải bất phương trình này: \[ 1 - x < 0 \quad \text{(vì \( x > 0 \))} \] \[ x > 1. \] Do đó, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (1, +\infty) \). Phần d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([ \frac{1}{e}, e^2 ]\), ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm đầu và cuối đoạn cũng như tại các điểm cực trị trong đoạn. - Tại \( x = \frac{1}{e} \): \[ f\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{e + 1}{e}. \] - Tại \( x = e^2 \): \[ f(e^2) = 2 - e^2. \] - Tìm điểm cực trị bằng cách giải \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{1 - x}{x} = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1. \] Kiểm tra giá trị của hàm số tại \( x = 1 \): \[ f(1) = \ln 1 - 1 = -1. \] So sánh các giá trị: \[ f\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{e + 1}{e}, \quad f(1) = -1, \quad f(e^2) = 2 - e^2. \] Trong đó, giá trị nhỏ nhất là \( -1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([ \frac{1}{e}, e^2 ]\) là \(-1\). Câu 8: Để tìm tập xác định \( D \) của hàm số \( f(x) = x - \ln(2x + 1) \), chúng ta cần đảm bảo rằng biểu thức bên trong của logarit phải dương, tức là \( 2x + 1 > 0 \). Bước 1: Xác định điều kiện để biểu thức bên trong logarit dương: \[ 2x + 1 > 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình trên: \[ 2x + 1 > 0 \] \[ 2x > -1 \] \[ x > -\frac{1}{2} \] Bước 3: Kết luận tập xác định \( D \): Tập xác định của hàm số \( f(x) = x - \ln(2x + 1) \) là tất cả các giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện \( x > -\frac{1}{2} \). Do đó, tập xác định \( D \) là: \[ D = \left( -\frac{1}{2}, +\infty \right) \]