giúp mình với

Câu 12: Để giải quyết các bài toán liên quan đến chi phí sản xuất nước tinh khiết, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định đã đưa ra. Khẳng định a) Khẳng định: \( C(x) = 0,0005x^2 + 0,15x + 5 \) Lập luận: - Chi phí cố định là 5 triệu đồng. - Chi phí biến đổi cho mỗi mét khối sản phẩm là 0,15 triệu đồng. - Chi phí bảo dưỡng máy móc là \( 0,0005x^2 \). Do đó, tổng chi phí sản xuất \( C(x) \) sẽ là: \[ C(x) = 0,0005x^2 + 0,15x + 5 \] Khẳng định này đúng. Khẳng định b) Khẳng định: Chi phí sản xuất 100 \( m^3 \) nước tinh khiết là 20 triệu đồng. Lập luận: - Thay \( x = 100 \) vào công thức \( C(x) \): \[ C(100) = 0,0005(100)^2 + 0,15(100) + 5 \] \[ C(100) = 0,0005 \times 10000 + 0,15 \times 100 + 5 \] \[ C(100) = 5 + 15 + 5 \] \[ C(100) = 25 \text{ triệu đồng} \] Khẳng định này sai vì chi phí thực tế là 25 triệu đồng, không phải 20 triệu đồng. Khẳng định c) Khẳng định: \( \overline{C}(x) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x} \) Lập luận: - Chi phí sản xuất trung bình \( \overline{C}(x) \) là: \[ \overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x} \] \[ \overline{C}(x) = \frac{0,0005x^2 + 0,15x + 5}{x} \] \[ \overline{C}(x) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x} \] Khẳng định này đúng. Khẳng định d) Khẳng định: Chi phí sản xuất trung bình giảm khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày không vượt quá 100 \( m^3 \). Lập luận: - Để kiểm tra tính giảm của \( \overline{C}(x) \), chúng ta cần xét đạo hàm của \( \overline{C}(x) \): \[ \overline{C}(x) = 0,0005x + 0,15 + \frac{5}{x} \] \[ \overline{C}'(x) = 0,0005 - \frac{5}{x^2} \] - Xét dấu của \( \overline{C}'(x) \) trong khoảng \( 0 < x \leq 100 \): \[ \overline{C}'(x) = 0,0005 - \frac{5}{x^2} \] \[ \overline{C}'(x) = 0 \Rightarrow 0,0005 = \frac{5}{x^2} \] \[ x^2 = \frac{5}{0,0005} \] \[ x^2 = 10000 \] \[ x = 100 \] - Khi \( x < 100 \), \( \overline{C}'(x) < 0 \), tức là \( \overline{C}(x) \) giảm. Khẳng định này đúng. Kết luận - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Tính chi phí tiền xăng khi \( v = 40 \) km/h Biểu thức chi phí tiền xăng được cho bởi: \[ C(v) = \frac{16000}{v} + \frac{5}{2}v \] Thay \( v = 40 \) vào biểu thức trên: \[ C(40) = \frac{16000}{40} + \frac{5}{2} \times 40 \] Tính từng phần: - \(\frac{16000}{40} = 400\) - \(\frac{5}{2} \times 40 = 100\) Vậy: \[ C(40) = 400 + 100 = 500 \] Kết luận: Khi tài xế lái xe với tốc độ trung bình là 40 km/h, chi phí tiền xăng là 500 nghìn đồng. b) Tính đạo hàm của hàm chi phí Đạo hàm của hàm chi phí \( C(v) \) được cho bởi: \[ C'(v) = -\frac{16000}{v^2} + \frac{5}{2} \] c) Phân tích sự thay đổi của chi phí khi tốc độ thay đổi Để xem xét sự thay đổi của chi phí khi tốc độ thay đổi, ta cần xem xét dấu của \( C'(v) \). - \( C'(v) = -\frac{16000}{v^2} + \frac{5}{2} \) Xét dấu của \( C'(v) \): - \( C'(v) < 0 \) khi \(-\frac{16000}{v^2} + \frac{5}{2} < 0\) - Giải bất phương trình: \(-\frac{16000}{v^2} < -\frac{5}{2}\) - \(\frac{16000}{v^2} > \frac{5}{2}\) - \(v^2 < \frac{16000 \times 2}{5} = 6400\) - \(v < \sqrt{6400} = 80\) Vậy, khi \( 0 < v < 80 \), \( C'(v) < 0 \), nghĩa là chi phí giảm khi tốc độ tăng. Kết luận: Tài xế càng đi nhanh (với \( v < 80 \) km/h) thì chi phí tiền xăng càng giảm. d) Tính chi phí tối thiểu khi tốc độ tối đa là 50 km/h Biển báo tốc độ tối đa cho phép là 50 km/h, do đó \( v \leq 50 \). Tính chi phí tiền xăng khi \( v = 50 \): \[ C(50) = \frac{16000}{50} + \frac{5}{2} \times 50 \] Tính từng phần: - \(\frac{16000}{50} = 320\) - \(\frac{5}{2} \times 50 = 125\) Vậy: \[ C(50) = 320 + 125 = 445 \] Kết luận: Nếu tài xế tuân thủ luật giao thông với tốc độ tối đa 50 km/h, chi phí tiền xăng tối thiểu khi đi 100 km trên đoạn đường này là 445 nghìn đồng. Câu 14: a) Số dân của địa phương đó vào năm 2020 là khoảng 161 nghìn người (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn người). Lời giải: Số dân của địa phương đó vào năm 2020 là: \[ P(0) = 51 + 100 \ln(0 + 3) = 51 + 100 \ln(3) \approx 51 + 100 \times 1.0986 \approx 51 + 109.86 \approx 160.86 \] Làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn người, ta được 161 nghìn người. b) Phải mất ít nhất 12 năm, kể từ năm 2020, để dân số của địa phương đó vượt mức 300 nghìn người. Lời giải: Ta cần tìm t sao cho \( P(t) > 300 \): \[ 51 + 100 \ln(t + 3) > 300 \] \[ 100 \ln(t + 3) > 249 \] \[ \ln(t + 3) > 2.49 \] \[ t + 3 > e^{2.49} \] \[ t + 3 > 12.03 \] \[ t > 9.03 \] Vậy phải mất ít nhất 10 năm, kể từ năm 2020, để dân số của địa phương đó vượt mức 300 nghìn người. c) Kể từ năm 2020, số dân của địa phương đó lúc đầu tăng nhưng sau đó sẽ giảm dần. Lời giải: Ta cần kiểm tra đạo hàm của \( P(t) \): \[ P'(t) = 100 \cdot \frac{1}{t + 3} \] \[ P'(t) = \frac{100}{t + 3} \] Do \( \frac{100}{t + 3} > 0 \) với mọi \( t \geq 0 \), nên số dân của địa phương đó luôn tăng theo thời gian. Vậy khẳng định này sai. d) Trong vòng 100 năm nữa, kể từ năm 2020, số dân của địa phương đó chưa thế vượt quả mức 1 triệu người. Lời giải: Ta cần kiểm tra \( P(100) \): \[ P(100) = 51 + 100 \ln(100 + 3) \] \[ P(100) = 51 + 100 \ln(103) \] \[ P(100) \approx 51 + 100 \times 4.6347 \] \[ P(100) \approx 51 + 463.47 \] \[ P(100) \approx 514.47 \] Vậy trong vòng 100 năm nữa, kể từ năm 2020, số dân của địa phương đó chưa thể vượt mức 1 triệu người. Đáp số: a) 161 nghìn người. b) 10 năm. c) Sai. d) Đúng.