giải câu hỏi

Câu 1: Để xác định đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( f(x) \), ta cần tìm các giá trị của \( x \) mà tại đó hàm số không xác định và có xu hướng tiến tới vô cực. Dựa vào bảng biến thiên: 1. Tại \( x = -1 \), ta thấy: - Khi \( x \to -1^- \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to -1^+ \), \( f(x) \to +\infty \). Điều này cho thấy tại \( x = -1 \), hàm số có một đường tiệm cận đứng. 2. Tại \( x = 2 \), ta thấy: - Khi \( x \to 2^- \), \( f(x) \to 3 \). - Khi \( x \to 2^+ \), \( f(x) \to 3 \). Điều này cho thấy tại \( x = 2 \), hàm số không có đường tiệm cận đứng mà chỉ có giá trị hàm số là 3. Vậy, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( f(x) \) là \( x = -1 \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~x=-1 \). Câu 2: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi mẫu thức khác 0, tức là \( x - 1 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq 1 \). 2. Tìm đường tiệm cận xiên: - Đường tiệm cận xiên có dạng \( y = ax + b \). - Để tìm \( a \) và \( b \), ta thực hiện phép chia đa thức \( x^2 - x + 1 \) cho \( x - 1 \). 3. Thực hiện phép chia: - Chia \( x^2 - x + 1 \) cho \( x - 1 \): \[ \begin{array}{r|l} x - 1 & x^2 - x + 1 \\ \hline & x + 0 \\ \hline x^2 - x & \\ \hline & 0 + 1 \\ \end{array} \] - Kết quả của phép chia là \( x + 0 \) với số dư là 1. 4. Kết luận: - Khi \( x \to \infty \), số dư 1 trở nên không đáng kể so với \( x \), do đó hàm số có đường tiệm cận xiên là \( y = x \). 5. Kiểm tra đáp án: - Đáp án đúng là \( y = x \), tuy nhiên không có trong các lựa chọn. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Tuy nhiên, theo phép chia, đường tiệm cận xiên chính xác là \( y = x \). Vì vậy, nếu phải chọn một đáp án gần đúng nhất từ các lựa chọn, ta có thể chọn \( y = x - 2 \) (đáp án B) vì nó gần nhất với kết quả \( y = x \) sau khi thực hiện phép chia. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng kết quả chính xác từ phép chia là \( y = x \). Câu 3: Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x + 1}{1 - 9} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn hàm số: Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{-2x + 1}{1 - 9} \] Ta thấy mẫu số \( 1 - 9 = -8 \). Do đó, hàm số có thể viết lại thành: \[ y = \frac{-2x + 1}{-8} = \frac{2x - 1}{8} \] 2. Xác định đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang của một hàm số \( y = f(x) \) là giá trị mà \( y \) tiến đến khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to \pm\infty \)). Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{8} \] Ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến vô cùng, tử số \( 2x - 1 \) cũng tiến đến vô cùng, nhưng tỉ lệ giữa tử số và mẫu số sẽ ổn định. Cụ thể: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{8} = \frac{2x}{8} = \frac{x}{4} \] Tuy nhiên, vì \( x \) tiến đến vô cùng, nên \( \frac{x}{4} \) cũng tiến đến vô cùng. Điều này cho thấy hàm số không có đường tiệm cận ngang. 3. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{2x - 1}{8} \) không có đường tiệm cận ngang. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{Không có đường tiệm cận ngang}} \] Câu 4: Để tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^3 (x + 1)} \), chúng ta sẽ kiểm tra các loại tiệm cận: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên. Bước 1: Tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 nhưng tử số khác 0. Ta xét mẫu số: \[ (x + 2)^3 (x + 1) = 0 \] Mẫu số bằng 0 khi: \[ x + 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] \[ x = -2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Kiểm tra tại \( x = -2 \): Tử số tại \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \] Vì tử số cũng bằng 0, ta cần kiểm tra giới hạn: \[ \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^3 (x + 1)} \] Ta có: \[ \lim_{x \to -2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^3 (x + 1)} = \lim_{x \to -2} \frac{x - 2}{(x + 2)^2 (x + 1)} \] Giới hạn này không tồn tại vì mẫu số tiến đến 0 còn tử số không tiến đến 0. Do đó, \( x = -2 \) là tiệm cận đứng. Kiểm tra tại \( x = -1 \): Tử số tại \( x = -1 \): \[ (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 \neq 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là tiệm cận đứng. Bước 2: Tiệm cận ngang Tiệm cận ngang xảy ra khi \( x \to \pm \infty \). Ta xét giới hạn: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^3 (x + 1)} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x^4 \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x^2}{x^4} - \frac{4}{x^4}}{\left(\frac{x + 2}{x}\right)^3 \left(\frac{x + 1}{x}\right)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^4}}{\left(1 + \frac{2}{x}\right)^3 \left(1 + \frac{1}{x}\right)} \] Khi \( x \to \pm \infty \), các hạng tử chứa \( \frac{1}{x} \) đều tiến về 0: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{0 - 0}{1 \cdot 1} = 0 \] Do đó, \( y = 0 \) là tiệm cận ngang. Bước 3: Tiệm cận xiên Hàm số \( y = \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^3 (x + 1)} \) không có tiệm cận xiên vì bậc của tử số (2) nhỏ hơn bậc của mẫu số (4). Kết luận Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^3 (x + 1)} \) là: - 2 tiệm cận đứng (\( x = -2 \) và \( x = -1 \)) - 1 tiệm cận ngang (\( y = 0 \)) Vậy tổng cộng có 3 đường tiệm cận. Đáp án: C. 3 Câu 5: Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{(m+2)x - 3}{4.2} \) đi qua điểm \( A(-1;2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường tiệm cận ngang của hàm số: Hàm số đã cho có dạng \( y = \frac{ax + b}{c} \), trong đó \( a = m+2 \), \( b = -3 \), và \( c = 4.2 \). Đường tiệm cận ngang của hàm số này là \( y = \frac{a}{c} = \frac{m+2}{4.2} \). 2. Điều kiện để đường tiệm cận ngang đi qua điểm \( A(-1;2) \): Để đường tiệm cận ngang \( y = \frac{m+2}{4.2} \) đi qua điểm \( A(-1;2) \), ta cần có: \[ \frac{m+2}{4.2} = 2 \] 3. Giải phương trình: Nhân cả hai vế của phương trình với \( 4.2 \) để loại mẫu: \[ m+2 = 2 \times 4.2 \] \[ m+2 = 8.4 \] Trừ 2 từ cả hai vế: \[ m = 8.4 - 2 \] \[ m = 6.4 \] 4. Kết luận: Giá trị thực của tham số \( m \) để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(-1;2) \) là \( m = 6.4 \). Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có giá trị nào là \( m = 6.4 \). Do đó, có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc đáp án. Cần kiểm tra lại đề bài hoặc đáp án để xác nhận. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 1. Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = L$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$. 2. Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = a$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ hoặc $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$. Bây giờ, xét các lựa chọn trong bài toán: a) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $y=3$ và $y=-3.$ - Theo định nghĩa, nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$, thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là $y = 3$ và $y = -3$. Do đó, lựa chọn này là đúng. b) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x=3$ và $x=-3.$ - Để có đường tiệm cận đứng, hàm số phải có giới hạn vô cùng tại một điểm hữu hạn, điều này không liên quan đến giới hạn tại vô cực. Do đó, lựa chọn này là sai. c) Đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận ngang. - Như đã phân tích ở phần a), hàm số có hai đường tiệm cận ngang, không phải duy nhất một. Do đó, lựa chọn này là sai. d) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $x=3$ và $x=-3.$ - Đường tiệm cận ngang phải có dạng $y = L$, không thể là $x = a$. Do đó, lựa chọn này là sai. Kết luận: Lựa chọn đúng là a) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $y=3$ và $y=-3.$ Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \) để xác định các đường tiệm cận. Phân tích bảng biến thiên: 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xảy ra khi hàm số có giới hạn vô cùng tại một điểm nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to 1^- \), \( y \to -\infty \) và khi \( x \to 1^+ \), \( y \to -5 \). Vậy \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. - Khi \( x \to 4^- \), \( y \to -\infty \) và khi \( x \to 4^+ \), \( y \to 3-m \). Vậy \( x = 4 \) là tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang xảy ra khi hàm số có giới hạn hữu hạn khi \( x \to \pm\infty \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to m-1 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to 3-m \). Xét các đáp án: a) Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang với mọi \( m \in \mathbb{R} \): - Sai, vì có 2 tiệm cận ngang khi \( x \to \pm\infty \). b) Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang với mọi \( m \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \): - Đúng, vì khi \( m = 2 \), hai tiệm cận ngang trùng nhau (cả hai đều là 1), không thỏa mãn điều kiện có 2 tiệm cận ngang. c) Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang với mọi \( m \in \mathbb{R} \): - Sai, vì khi \( m = 2 \), chỉ có 1 tiệm cận ngang. d) Đường thẳng \( x = 4 \) là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: - Đúng, như đã phân tích ở trên. Kết luận: - Đáp án đúng là b) và d). Câu 3: Để xác định các đường tiệm cận của hàm số \( y = \frac{2x - 1}{-x - 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là: \[ -x - 1 = 0 \] \[ x = -1 \] Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = -1 \). Bước 2: Xác định tiệm cận ngang Tiệm cận ngang được xác định bằng cách tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{-x - 1} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{-1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \pm\infty \), các hạng tử \(\frac{1}{x}\) tiến về 0: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - 0}{-1 - 0} = \frac{2}{-1} = -2 \] Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = -2 \). Kết luận - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = -1 \). - Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = -2 \). Vậy đáp án đúng là: c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = -1 \).