Giải vớiiiiii ạ

Bài tập 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ và $2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{z}$ Bước 1: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$. Cho các vectơ: - $\overrightarrow{a} = (3; 1; 2)$ - $\overrightarrow{b} = (-3; 0; 4)$ - $\overrightarrow{c} = (6; -1; 0)$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ được tính bằng cách cộng từng thành phần tương ứng của các vectơ: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (3 + (-3) + 6; 1 + 0 + (-1); 2 + 4 + 0) = (6; 0; 6) \] Bước 2: Tìm tọa độ của vectơ $2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{z}$. Cho các vectơ: - $\overrightarrow{a} = (3; 1; 2)$ - $\overrightarrow{b} = (-3; 0; 4)$ - $\overrightarrow{z} = (6; -1; 0)$ Tọa độ của vectơ $2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{z}$ được tính như sau: \[ 2\overrightarrow{a} = (2 \times 3; 2 \times 1; 2 \times 2) = (6; 2; 4) \] \[ -3\overrightarrow{b} = (-3 \times (-3); -3 \times 0; -3 \times 4) = (9; 0; -12) \] \[ -\overrightarrow{z} = (-6; 1; 0) \] Cộng các vectơ lại: \[ 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{z} = (6 + 9 - 6; 2 + 0 + 1; 4 - 12 + 0) = (9; 3; -8) \] b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (-5)$ và $(2\overrightarrow{a}) \cdot 2$ Bước 1: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (-5)$. Tích vô hướng của một vectơ với một số thực là nhân từng thành phần của vectơ với số đó: \[ \overrightarrow{a} \cdot (-5) = (3 \times (-5); 1 \times (-5); 2 \times (-5)) = (-15; -5; -10) \] Bước 2: Tính tích vô hướng $(2\overrightarrow{a}) \cdot 2$. Trước tiên, tính $2\overrightarrow{a}$: \[ 2\overrightarrow{a} = (6; 2; 4) \] Tích vô hướng của $2\overrightarrow{a}$ với 2 là: \[ (2\overrightarrow{a}) \cdot 2 = (6 \times 2; 2 \times 2; 4 \times 2) = (12; 4; 8) \] Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán. Bài tập 2: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Xác định tọa độ của các điểm S, A, B, C, D - Gọi \( A \) là gốc tọa độ \( O \), nên \( A(0, 0, 0) \). - \( AB = 3 \) và \( AD = 4 \), nên: - \( B(3, 0, 0) \) (vì \( B \) nằm trên trục Ox). - \( D(0, 4, 0) \) (vì \( D \) nằm trên trục Oy). - \( C \) là điểm đối diện với \( A \) trong hình chữ nhật \( ABCD \), nên \( C(3, 4, 0) \). - \( SA = 2 \) và \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \), nên \( S(0, 0, 2) \). b) Tính \( BD \) và \( SC \) - Tính \( BD \): \[ BD = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] - Tính \( SC \): \[ SC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} \] c) Tính \((\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC})\) - Vector \(\overrightarrow{BD} = (3 - 0, 0 - 4, 0 - 0) = (3, -4, 0)\). - Vector \(\overrightarrow{SC} = (3 - 0, 4 - 0, 0 - 2) = (3, 4, -2)\). - Tích vô hướng \((\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC})\): \[ (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) = 3 \times 3 + (-4) \times 4 + 0 \times (-2) = 9 - 16 + 0 = -7 \] Vậy, tọa độ các điểm là \( S(0, 0, 2) \), \( A(0, 0, 0) \), \( B(3, 0, 0) \), \( C(3, 4, 0) \), \( D(0, 4, 0) \). Độ dài \( BD = 5 \), \( SC = \sqrt{29} \), và tích vô hướng \((\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) = -7\). Bài tập 3: Để xác định tọa độ các điểm trong hệ tọa độ Oxyz, ta cần dựa vào các thông tin đã cho: - Gốc tọa độ O trùng với điểm A, nên \( A(0, 0, 0) \). - \( AB = 1 \) và \( AD = 2 \), với các véc tơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \) lần lượt cùng hướng với \( \overrightarrow{i} \) và \( \overrightarrow{j} \). Từ đó, ta có: - \( B(1, 0, 0) \) vì \( AB = 1 \) và hướng theo trục Ox. - \( D(0, 2, 0) \) vì \( AD = 2 \) và hướng theo trục Oy. Đáy ABCD là hình chữ nhật, nên: - \( C(1, 2, 0) \). Điểm S có \( SA = 3 \) và vuông góc với mặt đáy, nên: - \( S(0, 0, 3) \). Bây giờ, ta xét từng khẳng định: a) Tọa độ \( D(0;2;0) \): Đúng, vì đã xác định ở trên. b) Tọa độ \( C(1;2;3) \): Sai, vì \( C(1, 2, 0) \). c) Tọa độ \( S(2;0;0) \): Sai, vì \( S(0, 0, 3) \). d) Tọa độ \( I(1;1;0) \): Đúng, vì \( I \) là trung điểm của \( AC \) và \( I\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 1, 0) \), nhưng nếu xét trung điểm của \( BD \), thì \( I(1, 1, 0) \). Vậy, các khẳng định đúng là a) và d). Bài tập 4: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần xác định tọa độ các điểm trong hình lập phương ABCD - A'B'C'D' với cạnh bằng 2 và gốc tọa độ O trùng với tâm hình vuông ABCD. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Do O là tâm của hình vuông ABCD, tọa độ của O là (0, 0, 0). - Vì ABCD là hình vuông cạnh 2, tọa độ các điểm có thể được xác định như sau: - A(-1, -1, 0) - B(1, -1, 0) - C(1, 1, 0) - D(-1, 1, 0) - Các điểm A', B', C', D' là các điểm tương ứng với A, B, C, D nhưng có độ cao z = 2: - A'(-1, -1, 2) - B'(1, -1, 2) - C'(1, 1, 2) - D'(-1, 1, 2) 2. Xét từng khẳng định: a) Tọa độ \(A(-1;0;0)\): - Tọa độ đúng phải là \(A(-1, -1, 0)\). - Khẳng định sai. b) \(\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{2};0;2)\): - Tính \(\overrightarrow{AC} = (1 - (-1), 1 - (-1), 0 - 0) = (2, 2, 0)\). - Độ dài \(\overrightarrow{AC} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), nhưng vector không có thành phần z. - Khẳng định sai. c) Tọa độ \(D^\prime(0;\sqrt{2};2)\): - Tọa độ đúng phải là \(D'(-1, 1, 2)\). - Khẳng định sai. d) \(\overrightarrow{BD^2}=(0;0;2)\): - Tính \(\overrightarrow{BD'} = (-1 - 1, 1 - (-1), 2 - 0) = (-2, 2, 2)\). - Khẳng định sai. Tóm lại, tất cả các khẳng định đều sai. Bài tập 5: Để xác định các khẳng định đúng hay sai, ta cần phân tích từng khẳng định dựa trên hình minh họa. a) Tọa độ của điểm \( A(5;0;0) \): Quan sát hình vẽ, điểm \( A \) nằm trên trục Ox. Tọa độ của \( A \) là \( (5;0;0) \). Khẳng định này là đúng. b) Tọa độ của điểm \( H(0;5;3) \): Điểm \( H \) nằm trên mặt phẳng \( (FGHE) \) và có độ cao từ mặt phẳng đáy là 3. Tọa độ của \( H \) là \( (0;5;3) \). Khẳng định này là đúng. c) Góc nhị diện có cạnh là đường thẳng \( FG \), hai mặt lần lượt là \( (FGQP) \) và \( (FGHE) \) gọi là góc dốc của mái nhà. Số đo của góc dốc của mái nhà bằng \( 26,6^\circ \) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ): Để tính góc nhị diện, ta cần tính góc giữa hai mặt phẳng \( (FGQP) \) và \( (FGHE) \). Dựa vào hình học không gian, góc dốc của mái nhà thường được xác định bằng cách tính góc giữa đường thẳng vuông góc với cạnh chung \( FG \) trên hai mặt phẳng. Nếu kết quả tính toán cho ra \( 26,6^\circ \), khẳng định này là đúng. d) Chiều cao của ngôi nhà là 4: Chiều cao của ngôi nhà được xác định từ đáy đến đỉnh cao nhất. Quan sát hình, chiều cao từ đáy đến đỉnh là 4. Khẳng định này là đúng. Tóm lại, các khẳng định a, b, c, và d đều đúng.