Giup em voi

Câu 15: Chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi A là: \[ M(x) = \frac{T(x)}{x} = \frac{50000 + 5x}{x} = \frac{50000}{x} + 5 \] Khi \( x \to +\infty \), ta có: \[ \lim_{x \to +\infty} M(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{50000}{x} + 5 \right) = 0 + 5 = 5 \] Do đó, khi \( x \) đủ lớn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi A gần nhất với kết quả là 5 USD. Đáp án đúng là: D. 5. Câu 1: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần hiểu rõ các khái niệm về tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. 1. Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = L$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$. 2. Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = a$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$ hoặc $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$. Bây giờ, ta xét từng khẳng định: a) Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$. - Theo giả thiết, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$. Do đó, đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$. - Khẳng định a) là đúng. b) Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$. - Giả thiết không cung cấp thông tin về giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới 3. Do đó, không có cơ sở để kết luận rằng $x = 3$ là tiệm cận đứng. - Khẳng định b) là sai. c) Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ không có tiệm cận ngang. - Như đã phân tích ở khẳng định a), đồ thị có tiệm cận ngang là $y = 1$. - Khẳng định c) là sai. d) Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ không có tiệm cận đứng. - Theo giả thiết, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ và $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. Điều này cho thấy $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. - Khẳng định d) là sai. Tóm lại: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b), c), d) sai. Câu 2: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta phân tích bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \) như sau: 1. Khẳng định a: Hàm số không có điểm cực trị. - Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số không có điểm mà tại đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại. Do đó, hàm số không có điểm cực trị. - Khẳng định a là đúng. 2. Khẳng định b: \(\lim_{x\rightarrow1}f(x)=+\infty.\) - Bảng biến thiên không cung cấp thông tin trực tiếp về giới hạn tại \( x = 1 \). Tuy nhiên, ta thấy rằng hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \) và \( x = -2 \), không có thông tin về \( x = 1 \). - Do đó, không thể kết luận \(\lim_{x\rightarrow1}f(x)=+\infty\) chỉ dựa vào bảng biến thiên. - Khẳng định b là sai. 3. Khẳng định c: Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to +\infty \) và \( x \to -\infty \), \( y \to 0 \). Điều này cho thấy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là \( y = 0 \). - Khẳng định c là đúng. 4. Khẳng định d: Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 2 \) và \( x = -2 \). - Do đó, đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng. - Khẳng định d là sai. Tóm lại: - a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Câu 3: a) Tập xác định của hàm số là R\{1}. Để tìm tập xác định của hàm số, ta cần đảm bảo rằng mẫu số khác 0 và biểu thức dưới dấu căn không âm. Mẫu số \( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \). Biểu thức dưới dấu căn \( x^2 - x + 2 \geq 0 \). Ta thấy rằng \( x^2 - x + 2 \) là một tam thức bậc hai có biệt số \( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0 \). Vì biệt số âm, nên tam thức này luôn dương với mọi \( x \). Do đó, tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \). Khẳng định a) là đúng. b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \) và \( y = -1 \). Để tìm các đường tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). \[ y = \frac{\sqrt{x^2 - x + 2}}{x - 1} \] Khi \( x \to +\infty \): \[ y \approx \frac{\sqrt{x^2}}{x} = \frac{|x|}{x} = 1 \] Khi \( x \to -\infty \): \[ y \approx \frac{\sqrt{x^2}}{-x} = \frac{|x|}{-x} = -1 \] Do đó, đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \) và \( y = -1 \). Khẳng định b) là đúng. c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Ta đã tìm được 2 đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \) và \( y = -1 \). Tiếp theo, ta kiểm tra đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x^2 - x + 2}}{x - 1} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt{x^2 - x + 2}}{x - 1} = -\infty \] Do đó, đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Tổng cộng, đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận: 2 đường tiệm cận ngang và 1 đường tiệm cận đứng. Khẳng định c) là sai. d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Các đường tiệm cận là \( y = 1 \), \( y = -1 \), và \( x = 1 \). Tuy nhiên, trục Oy là \( x = 0 \), không nằm trong miền xác định của hàm số. Do đó, các đường tiệm cận và trục Oy không tạo thành một đa giác. Khẳng định d) là sai. Tóm lại: - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là đúng. - Khẳng định c) là sai. - Khẳng định d) là sai. Câu 4: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần thực hiện các bước sau: a) Tính đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là \( y = f(x) = \frac{2x^2 + 2x + 5}{2x + 1} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x+1)(4x+2) - (2x^2+2x+5)(2)}{(2x+1)^2} \] Tính tử số: \[ (2x+1)(4x+2) = 8x^2 + 4x + 4x + 2 = 8x^2 + 8x + 2 \] \[ (2x^2+2x+5)(2) = 4x^2 + 4x + 10 \] Do đó, tử số của đạo hàm là: \[ 8x^2 + 8x + 2 - (4x^2 + 4x + 10) = 4x^2 + 4x - 8 \] Vậy đạo hàm là: \[ y' = \frac{4x^2 + 4x - 8}{(2x+1)^2} = \frac{4(x^2 + x - 2)}{(2x+1)^2} \] Khẳng định a) là đúng. b) Tìm các điểm cực trị của hàm số: Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4(x^2 + x - 2) = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x+2) = 0 \] Vậy \( x = 1 \) hoặc \( x = -2 \). Tính giá trị hàm số tại các điểm này: - Với \( x = 1 \), \( y = \frac{2(1)^2 + 2(1) + 5}{2(1) + 1} = \frac{9}{3} = 3 \). - Với \( x = -2 \), \( y = \frac{2(-2)^2 + 2(-2) + 5}{2(-2) + 1} = \frac{8 - 4 + 5}{-4 + 1} = \frac{9}{-3} = -3 \). Vậy các điểm cực trị là \((-2; -3)\) và \((1; 3)\). Khẳng định b) là đúng. c) Tìm đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0: \[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \] Khẳng định c) là đúng. d) Tìm đường tiệm cận xiên: Vì bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số, ta thực hiện phép chia: \[ \frac{2x^2 + 2x + 5}{2x + 1} = x + \frac{1}{2} + \frac{\frac{9}{2}}{2x+1} \] Vậy đường tiệm cận xiên là \( y = x + \frac{1}{2} \). Khẳng định d) là đúng. Tóm lại, tất cả các khẳng định a), b), c), d) đều đúng.