Giúp mình câu toán ạ Câu 8 [15601]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{(m+1)x+2m+2}{x+m}$,nghịch biến trên khoảng $(-1;+\infty).$,$A.~-12\end{array} ight.$ $D.~1\leq m

Question

Giúp mình câu toán ạ Câu 8 [15601]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{(m+1)x+2m+2}{x+m}$,nghịch biến trên khoảng $(-1;+\infty).$,$A.~-1<m<2.$ $B.~m\geq1.$ $C.\left[\begin{array}{l}m<1\m>2\end{array}ight.$ $D.~1\leq m<2.$

Accepted Answer

Câu 8:
Để hàm số $ y = \frac{(m+1)x + 2m + 2}{x + m} $ nghịch biến trên khoảng $ (-1; +\infty) $, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số $ y&#x27; < 0 $ trên khoảng này.

1. Tìm đạo hàm $ y&#x27; $:

Hàm số $ y = \frac{(m+1)x + 2m + 2}{x + m} $.

Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   y&#x27; = \frac{[(m+1)(x + m) - ((m+1)x + 2m + 2)]}{(x + m)^2}
   $$

Tính tử số:
   $$
   (m+1)(x + m) - ((m+1)x + 2m + 2) = (m+1)x + (m+1)m - (m+1)x - 2m - 2 = (m+1)m - 2m - 2 = m^2 + m - 2m - 2 = m^2 - m - 2
   $$

Vậy:
   $$
   y&#x27; = \frac{m^2 - m - 2}{(x + m)^2}
   $$

2. Điều kiện để hàm số nghịch biến:

Hàm số $ y $ nghịch biến khi $ y&#x27; < 0 $:
   $$
   \frac{m^2 - m - 2}{(x + m)^2} < 0
   $$

Vì $ (x + m)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -m $, nên dấu của $ y&#x27; $ phụ thuộc vào tử số $ m^2 - m - 2 $.

Ta cần:
   $$
   m^2 - m - 2 < 0
   $$

3. Giải bất phương trình $ m^2 - m - 2 < 0 $:

Giải phương trình $ m^2 - m - 2 = 0 $:
   $$
   m^2 - m - 2 = 0 \implies (m - 2)(m + 1) = 0 \implies m = 2 \text{ hoặc } m = -1
   $$

Bảng xét dấu của $ m^2 - m - 2 $:

$$
   \begin{array}{c|ccc}
   m & -\infty & -1 & 2 & +\infty \
   \hline
   m^2 - m - 2 & + & 0 & - & 0 & + \
   \end{array}
   $$

Từ bảng xét dấu, ta thấy $ m^2 - m - 2 < 0 $ khi $ -1 < m < 2 $.

4. Kết luận:

Để hàm số $ y = \frac{(m+1)x + 2m + 2}{x + m} $ nghịch biến trên khoảng $ (-1; +\infty) $, giá trị của $ m $ phải thỏa mãn:
   $$
   -1 < m < 2
   $$

Đáp án đúng là:
   $$
   A. -1 < m < 2
   $$