Giup e voi a

Câu 1: Để tìm diện tích của hình chữ nhật tạo bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x+3}{x-1} \) với hai trục tọa độ, ta cần xác định các đường tiệm cận của hàm số này. Bước 1: Tìm đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận đứng của hàm số có dạng \( x = a \) và xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là: \[ x - 1 = 0 \] Giải phương trình này, ta được: \[ x = 1 \] Bước 2: Tìm đường tiệm cận ngang Đường tiệm cận ngang của hàm số có dạng \( y = b \). Để tìm \( b \), ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2 \] Vậy đường tiệm cận ngang là: \[ y = 2 \] Bước 3: Xác định các điểm giao với trục tọa độ - Giao với trục hoành (Ox): Để tìm giao điểm với trục hoành, ta cho \( y = 0 \): \[ \frac{2x+3}{x-1} = 0 \] \[ 2x + 3 = 0 \] \[ 2x = -3 \] \[ x = -\frac{3}{2} \] - Giao với trục tung (Oy): Để tìm giao điểm với trục tung, ta cho \( x = 0 \): \[ y = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 - 1} = -3 \] Bước 4: Tính diện tích hình chữ nhật Hình chữ nhật được tạo bởi các đường tiệm cận và các trục tọa độ có các cạnh là: - Chiều dài: Khoảng cách giữa hai đường tiệm cận đứng và trục tung, tức là từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \), có độ dài là \( 1 \). - Chiều rộng: Khoảng cách giữa hai đường tiệm cận ngang và trục hoành, tức là từ \( y = 0 \) đến \( y = 2 \), có độ dài là \( 2 \). Diện tích của hình chữ nhật là: \[ \text{Diện tích} = 1 \times 2 = 2 \] Vậy diện tích của hình chữ nhật tạo bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số với hai trục tọa độ là \( 2 \). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường tiệm cận của hàm số \( y = \frac{x+1}{x-3} \). 2. Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận. 3. Xác định giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( \Delta: y = mx + m - 3 \) đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Bước 1: Xác định các đường tiệm cận của hàm số \( y = \frac{x+1}{x-3} \) Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-3} \) có mẫu số là \( x - 3 \). Do đó, đường tiệm cận đứng là: \[ x = 3 \] Đường tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{x+1}{x-3} \) được xác định bằng cách chia tử số cho mẫu số khi \( x \to \pm\infty \): \[ y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{x-3} = 1 \] Vậy, đường tiệm cận ngang là: \[ y = 1 \] Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận Giao điểm của hai đường tiệm cận \( x = 3 \) và \( y = 1 \) là điểm \( (3, 1) \). Bước 3: Xác định giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( \Delta: y = mx + m - 3 \) đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận Điểm \( (3, 1) \) phải thỏa mãn phương trình của đường thẳng \( \Delta \): \[ 1 = m \cdot 3 + m - 3 \] \[ 1 = 3m + m - 3 \] \[ 1 = 4m - 3 \] \[ 4m = 4 \] \[ m = 1 \] Vậy, giá trị của \( m \) là: \[ m = 1 \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{1} \] Câu 3: Để tìm khoảng cách từ điểm \( M(3; -2) \) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x^2 + 2x}{4x + 4} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đường tiệm cận xiên Để tìm đường tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{3x^2 + 2x}{4x + 4} \), ta thực hiện phép chia đa thức: Chia tử số \( 3x^2 + 2x \) cho mẫu số \( 4x + 4 \): 1. Chia \( 3x^2 \) cho \( 4x \), ta được \( \frac{3}{4}x \). 2. Nhân \( \frac{3}{4}x \) với \( 4x + 4 \), ta được \( 3x^2 + 3x \). 3. Lấy \( 3x^2 + 2x \) trừ đi \( 3x^2 + 3x \), ta được \( -x \). 4. Chia \( -x \) cho \( 4x \), ta được \( -\frac{1}{4} \). 5. Nhân \( -\frac{1}{4} \) với \( 4x + 4 \), ta được \( -x - 1 \). 6. Lấy \( -x \) trừ đi \( -x - 1 \), ta được \( 1 \). Vậy phép chia cho kết quả: \[ y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4x + 4} \] Khi \( x \to \pm \infty \), \( \frac{1}{4x + 4} \to 0 \), do đó đường tiệm cận xiên là: \[ y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \] Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm \( M(3; -2) \) đến đường thẳng \( y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \) Phương trình đường thẳng có dạng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ \frac{3}{4}x - y - \frac{1}{4} = 0 \] Với \( a = \frac{3}{4} \), \( b = -1 \), \( c = -\frac{1}{4} \). Khoảng cách từ điểm \( M(3; -2) \) đến đường thẳng này được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|a \cdot x_1 + b \cdot y_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Thay \( x_1 = 3 \), \( y_1 = -2 \) vào công thức: \[ d = \frac{\left|\frac{3}{4} \cdot 3 - 1 \cdot (-2) - \frac{1}{4}\right|}{\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + (-1)^2}} \] Tính toán: \[ d = \frac{\left|\frac{9}{4} + 2 - \frac{1}{4}\right|}{\sqrt{\frac{9}{16} + 1}} \] \[ d = \frac{\left|\frac{9}{4} + \frac{8}{4} - \frac{1}{4}\right|}{\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{16}}} \] \[ d = \frac{\left|\frac{16}{4}\right|}{\sqrt{\frac{25}{16}}} \] \[ d = \frac{4}{\frac{5}{4}} \] \[ d = \frac{4 \times 4}{5} = \frac{16}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(3; -2) \) đến đường tiệm cận xiên là \( \frac{16}{5} \). Câu 4: Để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^2 + 1} \) khi \( t \rightarrow +\infty \), ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( t \) tiến tới vô cùng. Xét biểu thức \( \frac{15t}{9t^2 + 1} \): Khi \( t \rightarrow +\infty \), tử số \( 15t \) và mẫu số \( 9t^2 + 1 \) đều tiến tới vô cùng. Để tìm giới hạn của phân thức này, ta chia cả tử và mẫu cho \( t \): \[ \frac{15t}{9t^2 + 1} = \frac{15t}{t(9t + \frac{1}{t})} = \frac{15}{9t + \frac{1}{t}} \] Khi \( t \rightarrow +\infty \), \( \frac{1}{t} \rightarrow 0 \), do đó: \[ \frac{15}{9t + \frac{1}{t}} \rightarrow \frac{15}{9t} = \frac{15}{9} \cdot \frac{1}{t} \rightarrow 0 \] Vậy, giới hạn của \( \frac{15t}{9t^2 + 1} \) khi \( t \rightarrow +\infty \) là 0. Do đó, giới hạn của hàm số \( y(t) = 5 - \frac{15t}{9t^2 + 1} \) khi \( t \rightarrow +\infty \) là: \[ \lim_{t \to +\infty} y(t) = 5 - 0 = 5 \] Vậy, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = y(t) \) khi \( t \rightarrow +\infty \) có dạng \( y = a \) với \( a = 5 \). Kết luận: Giá trị của \( a \) là 5. Câu 5: Để tìm giá trị của \(a\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = S(x) = 200\left(5 - \frac{9}{2+x}\right)\), ta cần xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến tới vô cùng. Bước 1: Xét giới hạn của hàm số khi \(x \to +\infty\). \[ \lim_{x \to +\infty} S(x) = \lim_{x \to +\infty} 200\left(5 - \frac{9}{2+x}\right) \] Bước 2: Tách giới hạn thành hai phần: \[ = 200 \left( \lim_{x \to +\infty} 5 - \lim_{x \to +\infty} \frac{9}{2+x} \right) \] Bước 3: Tính từng giới hạn: - \(\lim_{x \to +\infty} 5 = 5\) - \(\lim_{x \to +\infty} \frac{9}{2+x} = 0\) vì khi \(x\) tiến tới vô cùng, mẫu số \(2+x\) cũng tiến tới vô cùng, làm cho phân số tiến tới 0. Bước 4: Thay các giới hạn đã tính vào biểu thức: \[ = 200 \left( 5 - 0 \right) = 200 \times 5 = 1000 \] Vậy, giá trị của \(a\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(1000\). Câu 6: Để tìm số đường tiệm cận của hàm số \( y = \frac{(x+1)(x^2-1)}{f(x)} \), ta cần xem xét các loại tiệm cận sau: 1. Tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Từ đồ thị của hàm số \( y = f(x) \), ta thấy: - \( f(x) = 0 \) tại \( x = -1 \), \( x = 1 \), và \( x = 2 \). Ta cần kiểm tra tử số tại các điểm này: - Tại \( x = -1 \): Tử số là \( (x+1)(x^2-1) = 0 \). - Tại \( x = 1 \): Tử số là \( (x+1)(x^2-1) = 0 \). - Tại \( x = 2 \): Tử số là \( (x+1)(x^2-1) \neq 0 \). Vậy, chỉ có \( x = 2 \) là tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang Tiệm cận ngang được xác định bằng cách xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \). - Bậc của tử số là 3 (vì \( (x+1)(x^2-1) = x^3 - x \)). - Bậc của mẫu số là 3 (vì \( f(x) \) là đa thức bậc ba). Khi bậc của tử số bằng bậc của mẫu số, tiệm cận ngang là tỉ số của các hệ số cao nhất: \[ y = \frac{1}{1} = 1 \] Kết luận Hàm số có 1 tiệm cận đứng tại \( x = 2 \) và 1 tiệm cận ngang \( y = 1 \). Kết quả: 2 đường tiệm cận.