toánhbdbd hsbbsn

Để vẽ đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 3x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tập xác định Hàm số \( y = -x^3 + 3x \) là một đa thức bậc ba, do đó tập xác định của hàm số là toàn bộ trục số thực, tức là \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tính đạo hàm và tìm các điểm cực trị Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x) = -3x^2 + 3 \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 3 = 0 \implies -3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \] \[ \implies x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Bước 3: Xét dấu đạo hàm và xác định loại cực trị - Với \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \), ta có \( y'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \). - Với \( -1 < x < 1 \), chọn \( x = 0 \), ta có \( y'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 > 0 \). - Với \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \), ta có \( y'(2) = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \). Từ đó, ta có bảng biến thiên: \[ \begin{array}{c|ccc|c} x & -\infty & -1 & 0 & 1 & +\infty \\ \hline y' & & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline y & \nearrow & \text{Cực đại} & \searrow & \text{Cực tiểu} & \nearrow \\ \end{array} \] - Tại \( x = -1 \), hàm số đạt cực đại. Tính \( y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 \). - Tại \( x = 1 \), hàm số đạt cực tiểu. Tính \( y(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2 \). Bước 4: Tìm giao điểm với trục tọa độ - Giao điểm với trục hoành (trục \( x \)): Giải phương trình \( -x^3 + 3x = 0 \): \[ x(-x^2 + 3) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{3} \] - Giao điểm với trục tung (trục \( y \)): Thay \( x = 0 \) vào hàm số, ta có \( y = 0 \). Vậy giao điểm là \( (0, 0) \). Bước 5: Vẽ đồ thị Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 3x \) với các điểm đặc biệt: - Cực đại tại \( (-1, -2) \). - Cực tiểu tại \( (1, 2) \). - Giao điểm với trục hoành tại \( (0, 0) \), \( (\sqrt{3}, 0) \), \( (-\sqrt{3}, 0) \). - Giao điểm với trục tung tại \( (0, 0) \). Đồ thị có dạng hình chữ "S" ngược, đi qua các điểm đã xác định và có xu hướng đi xuống khi \( x \to \pm\infty \).