giúp mình với

Câu hỏi: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên s cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là \( y = t^3 - 12t + 3 \), \( t \geq 0 \). a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc. b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới? c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \( 0 \leq t \leq 3 \). d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc? Câu trả lời: a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc. Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm bậc nhất của hàm vị trí \( y(t) \): \[ v(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 12t + 3) = 3t^2 - 12 \] Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm bậc hai của hàm vị trí \( y(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12) = 6t \] b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới? Hạt chuyển động lên trên khi vận tốc \( v(t) > 0 \) và chuyển động xuống dưới khi \( v(t) < 0 \). Ta giải bất phương trình \( v(t) > 0 \): \[ 3t^2 - 12 > 0 \] \[ 3t^2 > 12 \] \[ t^2 > 4 \] \[ t > 2 \quad \text{(vì \( t \geq 0 \))} \] Do đó, hạt chuyển động lên trên khi \( t > 2 \) và chuyển động xuống dưới khi \( 0 \leq t < 2 \). c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \( 0 \leq t \leq 3 \). Quãng đường \( s \) mà hạt đi được từ \( t = 0 \) đến \( t = 3 \) là tích phân của giá trị tuyệt đối của vận tốc \( |v(t)| \) trong khoảng thời gian này: \[ s = \int_{0}^{3} |v(t)| \, dt \] Trước tiên, ta cần biết dấu của \( v(t) \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 3 \): - Khi \( 0 \leq t < 2 \), \( v(t) < 0 \) - Khi \( 2 \leq t \leq 3 \), \( v(t) > 0 \) Do đó, ta chia tích phân thành hai phần: \[ s = \int_{0}^{2} |3t^2 - 12| \, dt + \int_{2}^{3} (3t^2 - 12) \, dt \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{2} |3t^2 - 12| \, dt = \int_{0}^{2} -(3t^2 - 12) \, dt = \int_{0}^{2} (-3t^2 + 12) \, dt \] \[ = \left[ -t^3 + 12t \right]_{0}^{2} = (-8 + 24) - (0) = 16 \] \[ \int_{2}^{3} (3t^2 - 12) \, dt = \left[ t^3 - 12t \right]_{2}^{3} = (27 - 36) - (-8 + 24) = -9 - 16 = -25 \] Tổng quãng đường: \[ s = 16 + 25 = 41 \text{ mét} \] d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc? Hạt tăng tốc khi gia tốc \( a(t) > 0 \) và giảm tốc khi \( a(t) < 0 \). Ta có: \[ a(t) = 6t \] Do đó: - Hạt tăng tốc khi \( t > 0 \) - Hạt giảm tốc khi \( t < 0 \) (nhưng vì \( t \geq 0 \), nên không có khoảng thời gian nào mà hạt giảm tốc). Tóm lại: - Hạt tăng tốc khi \( t > 0 \) - Hạt không giảm tốc trong khoảng \( t \geq 0 \).