Giúp mình với!

Bài 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh AMCN là hình bình hành: 1. Xét trung điểm: - M là trung điểm của OD, do đó \( \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} \). - N là trung điểm của OB, do đó \( \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \). 2. Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm: - Trong hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, là trung điểm của cả hai đường chéo. Do đó, \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} \) và \( \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \). 3. Chứng minh AM // CN và AM = CN: - Xét \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} \). - Xét \( \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{CO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \). - Vì \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} \) và \( \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \), ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CN} \] - Do đó, AM // CN và AM = CN. 4. Chứng minh AN // CM và AN = CM: - Tương tự, ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{AO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} \] \[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{CO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} \] - Vì \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} \) và \( \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \), ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CM} \] - Do đó, AN // CM và AN = CM. 5. Kết luận: - Từ các bước trên, ta có AMCN là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. b) Chứng minh \( DE = BF \): 1. Xét các tam giác đồng dạng: - Xét tam giác AOD và tam giác BOC, ta có: - \( \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} \) và \( \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} \). - Do đó, tam giác AOD đồng dạng với tam giác BOC (cạnh-cạnh-cạnh). 2. Sử dụng tính chất trung điểm: - M là trung điểm của OD, N là trung điểm của OB. - Do đó, AM là đường trung bình của tam giác AOD và CN là đường trung bình của tam giác BOC. 3. Sử dụng tính chất hình bình hành: - Trong hình bình hành AMCN, ta có: - \( DE \) là đường trung bình của tam giác AOD, do đó \( DE = \frac{1}{2} AD \). - \( BF \) là đường trung bình của tam giác BOC, do đó \( BF = \frac{1}{2} BC \). 4. Kết luận: - Vì AD = BC trong hình bình hành ABCD, nên \( DE = BF \). Vậy, ta đã chứng minh được AMCN là hình bình hành và \( DE = BF \). Bài 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \(AH \bot BC\). - Ta có \(BD\) và \(CE\) là các đường cao của tam giác \(\Delta ABC\), do đó \(BD \bot AC\) và \(CE \bot AB\). - Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\), ta có \(H\) là trực tâm của tam giác \(\Delta ABC\). - Theo tính chất của trực tâm, đường thẳng đi qua trực tâm và đỉnh còn lại của tam giác sẽ vuông góc với cạnh đối diện. Do đó, \(AH \bot BC\). b) Chứng minh tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành. - Ta có \(K\) là giao điểm của đường vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và đường vuông góc với \(AC\) tại \(C\). - Do \(K\) nằm trên đường vuông góc với \(AB\) tại \(B\), nên \(BK \bot AB\). - Tương tự, do \(K\) nằm trên đường vuông góc với \(AC\) tại \(C\), nên \(CK \bot AC\). - Xét tứ giác \(BHCK\): - Ta đã có \(BK \parallel CH\) vì cả hai đều vuông góc với \(AB\). - Tương tự, \(BH \parallel CK\) vì cả hai đều vuông góc với \(AC\). - Do đó, tứ giác \(BHCK\) có hai cặp cạnh đối song song, nên \(BHCK\) là hình bình hành. Vậy, chúng ta đã chứng minh được \(AH \bot BC\) và tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành.