Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+xy+\frac{y^2}{3}=2017;z^2+\frac{y^3}{3}=1009;x^2+xz+z^2=1008\left(x\ne0,z\ne0,x\ne-z\right)$. CMR: $\frac{2z}{x}=\frac{y+z}{x+z}$.

Từ giả thiết ta có: $x^2+xy+\frac{y^2}{3}=2017(1);$ $z^2+\frac{y^3}{3}=1009(2);$ $x^2+xz+z^2=1008(3).$ Lấy (1) trừ (3) ta được: $xy-\frac{y^2}{3}-xz-z^2=1009.$ $\Leftrightarrow xy-xz-\frac{y^2}{3}-z^2=1009.$ $\Leftrightarrow x(y-z)-\frac{1}{3}(y^2+3z^2)=1009.$ $\Leftrightarrow x(y-z)-\frac{1}{3}[y^2+3z^2-(3yz-3yz)]=1009.$ $\Leftrightarrow x(y-z)-\frac{1}{3}[y^2-3yz+3z^2+3yz]=1009.$ $\Leftrightarrow x(y-z)-\frac{1}{3}[y^2-3yz+z^2+2z^2+3yz]=1009.$ $\Leftrightarrow x(y-z)-\frac{1}{3}[(y-z)^2+2z^2+3yz]=1009.$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.