Giải giúp mình

Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn \( AB \). Trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) có tọa độ được tính bằng công thức: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Với \( A(1; -1; 1) \) và \( B(2; -3; 2) \), ta có: \[ M\left(\frac{1 + 2}{2}, \frac{-1 + (-3)}{2}, \frac{1 + 2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2, \frac{3}{2}\right) \] Vậy tọa độ trung điểm của đoạn \( AB \) là \(\left(\frac{3}{2}, -2, \frac{3}{2}\right)\). b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác \( ABC \). Trọng tâm của tam giác có tọa độ được tính bằng công thức: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Với \( A(1; -1; 1) \), \( B(2; -3; 2) \), \( C(4; -2; 2) \), ta có: \[ G\left(\frac{1 + 2 + 4}{3}, \frac{-1 + (-3) + (-2)}{3}, \frac{1 + 2 + 2}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}, -2, \frac{5}{3}\right) \] Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác \( ABC \) là \(\left(\frac{7}{3}, -2, \frac{5}{3}\right)\). c) Tìm tọa độ điểm \( M \) thỏa mãn \(\overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MB}\). Để tìm tọa độ điểm \( M \), ta cần biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB}\), và \(\overrightarrow{MC}\) theo tọa độ của \( M(x, y, z) \). - \(\overrightarrow{MA} = (1-x, -1-y, 1-z)\) - \(\overrightarrow{MB} = (2-x, -3-y, 2-z)\) - \(\overrightarrow{MC} = (4-x, -2-y, 2-z)\) Theo đề bài, ta có phương trình vectơ: \[ (1-x, -1-y, 1-z) + \frac{1}{2}(4-x, -2-y, 2-z) = 3(2-x, -3-y, 2-z) \] Giải phương trình này theo từng thành phần: 1. Thành phần \( x \): \[ 1-x + \frac{1}{2}(4-x) = 3(2-x) \] \[ 1-x + 2 - \frac{x}{2} = 6 - 3x \] \[ 3 - \frac{3x}{2} = 6 - 3x \] \[ \frac{3x}{2} - 3x = 6 - 3 \] \[ -\frac{3x}{2} = 3 \] \[ x = -2 \] 2. Thành phần \( y \): \[ -1-y + \frac{1}{2}(-2-y) = 3(-3-y) \] \[ -1-y - 1 - \frac{y}{2} = -9 - 3y \] \[ -2 - \frac{3y}{2} = -9 - 3y \] \[ \frac{3y}{2} - 3y = -9 + 2 \] \[ -\frac{3y}{2} = -7 \] \[ y = \frac{14}{3} \] 3. Thành phần \( z \): \[ 1-z + \frac{1}{2}(2-z) = 3(2-z) \] \[ 1-z + 1 - \frac{z}{2} = 6 - 3z \] \[ 2 - \frac{3z}{2} = 6 - 3z \] \[ \frac{3z}{2} - 3z = 6 - 2 \] \[ -\frac{3z}{2} = 4 \] \[ z = -\frac{8}{3} \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \((-2, \frac{14}{3}, -\frac{8}{3})\). Câu 9: a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của nó. Bước 1: Tính các vector cạnh - \(\overrightarrow{AB} = (2 - 1, -3 + 1, 2 - 1) = (1, -2, 1)\) - \(\overrightarrow{BC} = (4 - 2, -2 + 3, 2 - 2) = (2, 1, 0)\) - \(\overrightarrow{CD} = (3 - 4, 0 + 2, 1 - 2) = (-1, 2, -1)\) - \(\overrightarrow{DA} = (1 - 3, -1 - 0, 1 - 1) = (-2, -1, 0)\) Bước 2: Kiểm tra tính vuông góc - \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2 - 2 = 0\) - \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) = -2 + 2 = 0\) - \(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-1) \cdot (-2) + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 = 2 - 2 = 0\) - \(\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = -2 + 2 = 0\) Vì các cặp cạnh kề nhau đều vuông góc, ABCD là hình chữ nhật. Bước 3: Tính diện tích Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là tích độ dài hai cạnh kề nhau: - \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}\) - \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}\) Diện tích \(S = |\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6} \times \sqrt{5} = \sqrt{30}\). b) Tính cos các góc của tam giác ABC Bước 1: Tính độ dài các cạnh - \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{6}\) - \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{5}\) - \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(4-1)^2 + (-2+1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{10}\) Bước 2: Tính cos các góc - \(\cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{0}{\sqrt{6} \times \sqrt{5}} = 0\) - \(\cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 1}{\sqrt{6} \times \sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{60}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\) - \(\cos \angle ACB = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{3 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm A và B Điểm \(M\) trên \(Oy\) có dạng \((0, y, 0)\). Điều kiện cách đều: \(|\overrightarrow{MA}| = |\overrightarrow{MB}|\) - \(|\overrightarrow{MA}| = \sqrt{(0-1)^2 + (y+1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2 + (y+1)^2}\) - \(|\overrightarrow{MB}| = \sqrt{(0-2)^2 + (y+3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{8 + (y+3)^2}\) Giải phương trình: \[ 2 + (y+1)^2 = 8 + (y+3)^2 \] \[ y^2 + 2y + 1 = y^2 + 6y + 9 \] \[ 2y + 1 = 6y + 9 \] \[ -4y = 8 \Rightarrow y = -2 \] Điểm \(M\) là \((0, -2, 0)\). d) Tìm tọa độ điểm M thỏa \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0\) Bước 1: Biểu diễn các vector - \(\overrightarrow{MA} = (1-x, -1-y, 1-z)\) - \(\overrightarrow{MB} = (2-x, -3-y, 2-z)\) - \(\overrightarrow{MC} = (4-x, -2-y, 2-z)\) Bước 2: Thiết lập phương trình \[ (1-x, -1-y, 1-z) + (2-x, -3-y, 2-z) - 3(4-x, -2-y, 2-z) = (0, 0, 0) \] Giải từng thành phần: 1. \(1-x + 2-x - 3(4-x) = 0\) \(-2x + 3x - 12 = 0 \Rightarrow x = 5\) 2. \(-1-y - 3-y - 3(-2-y) = 0\) \(-4y + 6 + 3y = 0 \Rightarrow y = -6\) 3. \(1-z + 2-z - 3(2-z) = 0\) \(-2z + 3z - 6 = 0 \Rightarrow z = 6\) Điểm \(M\) là \((5, -6, 6)\). Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm tọa độ điểm \( M \in Ox \) và cách đều hai điểm \( A, B \). Điểm \( M \) nằm trên trục \( Ox \) nên có dạng \( M(x; 0; 0) \). Điều kiện để \( M \) cách đều hai điểm \( A \) và \( B \) là: \[ MA = MB \] Tính khoảng cách \( MA \) và \( MB \): \[ MA = \sqrt{(x - 4)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + 1 + 4} = \sqrt{(x - 4)^2 + 5} \] \[ MB = \sqrt{(x - 7)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{(x - 7)^2 + 9 + 4} = \sqrt{(x - 7)^2 + 13} \] Do \( MA = MB \), ta có: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + 5} = \sqrt{(x - 7)^2 + 13} \] Bình phương hai vế: \[ (x - 4)^2 + 5 = (x - 7)^2 + 13 \] Triển khai và đơn giản hóa: \[ x^2 - 8x + 16 + 5 = x^2 - 14x + 49 + 13 \] \[ x^2 - 8x + 21 = x^2 - 14x + 62 \] \[ -8x + 21 = -14x + 62 \] \[ 6x = 41 \] \[ x = \frac{41}{6} \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( M\left(\frac{41}{6}; 0; 0\right) \). b) Tìm \( M \) trên mặt phẳng \( (Oyz) \) sao cho tam giác \( ABM \) vuông cân tại \( A \). Điểm \( M \) nằm trên mặt phẳng \( (Oyz) \) nên có dạng \( M(0; y; z) \). Tam giác \( ABM \) vuông cân tại \( A \) nghĩa là: \[ AM = AB \] Tính khoảng cách \( AM \) và \( AB \): \[ AM = \sqrt{(0 - 4)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2} = \sqrt{16 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2} \] \[ AB = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 + 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \] Do \( AM = AB \), ta có: \[ \sqrt{16 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2} = 5 \] Bình phương hai vế: \[ 16 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 25 \] \[ (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9 \] Đây là phương trình của đường tròn tâm \((-1, 2)\) và bán kính \(3\) trên mặt phẳng \( (Oyz) \). Vậy điểm \( M \) có tọa độ \( M(0; y; z) \) thỏa mãn: \[ (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9 \] Điểm \( M \) có thể là bất kỳ điểm nào trên đường tròn này. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng Ba điểm A, B, C không thẳng hàng nếu và chỉ nếu vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Tính các vectơ: - $\overrightarrow{AB} = (0 - 1; 3 - 2; 7 + 3) = (-1; 1; 10)$ - $\overrightarrow{AC} = (2 - 1; 5 - 2; 0 + 3) = (1; 3; 3)$ Kiểm tra xem hai vectơ này có cùng phương không bằng cách kiểm tra tỉ lệ các thành phần tương ứng: \[ \frac{-1}{1} \neq \frac{1}{3} \quad \text{và} \quad \frac{1}{3} \neq \frac{10}{3} \] Vì các tỉ lệ không bằng nhau, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ hoặc $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Chọn $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$: - $\overrightarrow{CD} = (x - 2; y - 5; z - 0)$ Đặt $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$: \[ (x - 2; y - 5; z) = (-1; 1; 10) \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - 2 = -1 \\ y - 5 = 1 \\ z = 10 \end{cases} \] Từ đó, ta có: \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 6 \\ z = 10 \end{cases} \] Vậy tọa độ điểm D là $D(1; 6; 10)$. c) Tính góc $\widehat{ABC}$ Góc $\widehat{ABC}$ được tính bằng công thức: \[ \cos \widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BA}\| \cdot \|\overrightarrow{BC}\|} \] Tính các vectơ: - $\overrightarrow{BA} = (1; -1; -10)$ - $\overrightarrow{BC} = (2; 2; -7)$ Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 + (-10) \cdot (-7) = 2 - 2 + 70 = 70 \] Tính độ dài các vectơ: \[ \|\overrightarrow{BA}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-10)^2} = \sqrt{1 + 1 + 100} = \sqrt{102} \] \[ \|\overrightarrow{BC}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 4 + 49} = \sqrt{57} \] Tính $\cos \widehat{ABC}$: \[ \cos \widehat{ABC} = \frac{70}{\sqrt{102} \cdot \sqrt{57}} \] Tính góc $\widehat{ABC}$: \[ \widehat{ABC} = \arccos\left(\frac{70}{\sqrt{102 \times 57}}\right) \] d) Tính diện tích $\Delta ABC$ Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| \] Tính tích có hướng $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 10 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 3 - 10 \cdot 3) - \mathbf{j}(-1 \cdot 3 - 10 \cdot 1) + \mathbf{k}(-1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(3 - 30) - \mathbf{j}(-3 - 10) + \mathbf{k}(-3 - 1) \] \[ = \mathbf{i}(-27) + \mathbf{j}(13) + \mathbf{k}(-4) \] Tính độ dài của tích có hướng: \[ \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{(-27)^2 + 13^2 + (-4)^2} = \sqrt{729 + 169 + 16} = \sqrt{914} \] Diện tích tam giác: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{914} \] Tính độ dài đường cao AH của $\Delta ABC$ Độ dài đường cao AH từ A đến BC được tính bằng công thức: \[ AH = \frac{2S_{\Delta ABC}}{\|\overrightarrow{BC}\|} \] Thay vào công thức: \[ AH = \frac{\sqrt{914}}{\sqrt{57}} \] Vậy độ dài đường cao AH là $\frac{\sqrt{914}}{\sqrt{57}}$.