giải chi tiết các câu này giúp mình nhé

Câu 1: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính giá trị trung bình (\(\bar{x}\)) của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai (\(s^2\)) của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn (\(s\)) từ phương sai. Bước 1: Tính giá trị trung bình (\(\bar{x}\)) Giá trị trung bình của mỗi khoảng là: - [0; 20): \(10\) - [20; 40): \(30\) - [40; 60): \(50\) - [60; 80): \(70\) - [80; 100): \(90\) Ta có bảng số liệu như sau: | Thời gian (phút) | Số học sinh (\(f_i\)) | Giá trị trung bình (\(x_i\)) | \(f_i \cdot x_i\) | |------------------|------------------------|-------------------------------|---------------------| | [0; 20) | 5 | 10 | 50 | | [20; 40) | 9 | 30 | 270 | | [40; 60) | 12 | 50 | 600 | | [60; 80) | 10 | 70 | 700 | | [80; 100) | 6 | 90 | 540 | Tổng số học sinh: \(5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42\) Tổng \(f_i \cdot x_i\): \(50 + 270 + 600 + 700 + 540 = 2160\) Giá trị trung bình: \[ \bar{x} = \frac{\sum f_i \cdot x_i}{\sum f_i} = \frac{2160}{42} \approx 51.43 \] Bước 2: Tính phương sai (\(s^2\)) Phương sai được tính bằng công thức: \[ s^2 = \frac{\sum f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i} \] Ta tính \( (x_i - \bar{x})^2 \) và \( f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2 \): | Thời gian (phút) | Số học sinh (\(f_i\)) | Giá trị trung bình (\(x_i\)) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) | \(f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2\) | |------------------|------------------------|-------------------------------|---------------------|--------------------------|----------------------------------| | [0; 20) | 5 | 10 | -41.43 | 1716.44 | 8582.2 | | [20; 40) | 9 | 30 | -21.43 | 459.24 | 4133.16 | | [40; 60) | 12 | 50 | -1.43 | 2.04 | 24.48 | | [60; 80) | 10 | 70 | 18.57 | 344.84 | 3448.4 | | [80; 100) | 6 | 90 | 38.57 | 1487.24 | 8923.44 | Tổng \(f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2\): \(8582.2 + 4133.16 + 24.48 + 3448.4 + 8923.44 = 25111.68\) Phương sai: \[ s^2 = \frac{25111.68}{42} \approx 597.897 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn (\(s\)) Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{597.897} \approx 24.45 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ s \approx 24.5 \] Đáp án: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(24.5\). Câu 2: Để tính bình phương độ dài của vector \(\overrightarrow{AC^\prime}\), ta cần xác định tọa độ của các điểm \(A\) và \(C'\) trong hệ tọa độ không gian. Giả sử điểm \(A\) có tọa độ \((0, 0, 0)\). Khi đó, các điểm khác của hình hộp chữ nhật có tọa độ như sau: - Điểm \(B\) có tọa độ \((10, 0, 0)\) vì \(AB = 10\). - Điểm \(D\) có tọa độ \((0, 15, 0)\) vì \(AD = 15\). - Điểm \(A'\) có tọa độ \((0, 0, 30)\) vì \(AA' = 30\). Điểm \(C'\) là điểm đối diện với \(A\) trong hình hộp chữ nhật, nên tọa độ của \(C'\) là \((10, 15, 30)\). Bây giờ, ta tính vector \(\overrightarrow{AC^\prime}\): \[ \overrightarrow{AC^\prime} = (10 - 0, 15 - 0, 30 - 0) = (10, 15, 30) \] Bình phương độ dài của vector \(\overrightarrow{AC^\prime}\) được tính bằng: \[ |\overrightarrow{AC^\prime}|^2 = 10^2 + 15^2 + 30^2 \] Tính từng phần: - \(10^2 = 100\) - \(15^2 = 225\) - \(30^2 = 900\) Cộng lại: \[ |\overrightarrow{AC^\prime}|^2 = 100 + 225 + 900 = 1225 \] Vậy, bình phương độ dài của \(\overrightarrow{AC^\prime}\) là \(1225\). Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định mối quan hệ giữa giá thuê căn hộ và số lượng căn hộ được thuê, từ đó tính toán doanh thu và tìm giá trị lớn nhất của doanh thu. Bước 1: Xác định biến và mối quan hệ - Gọi \( x \) là số lần tăng giá thuê căn hộ (đơn vị: 100 nghìn đồng). - Giá thuê ban đầu là 7 triệu đồng một tháng. - Mỗi lần tăng giá 100 nghìn đồng, sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Bước 2: Biểu diễn giá thuê và số lượng căn hộ được thuê - Giá thuê mới sau \( x \) lần tăng là: \( 7 + 0,1x \) (triệu đồng). - Số lượng căn hộ được thuê là: \( 120 - x \). Bước 3: Tính doanh thu Doanh thu \( R \) là tích của giá thuê và số lượng căn hộ được thuê: \[ R = (7 + 0,1x)(120 - x) \] Bước 4: Mở rộng và đơn giản hóa biểu thức doanh thu \[ R = (7 + 0,1x)(120 - x) \] \[ R = 7(120 - x) + 0,1x(120 - x) \] \[ R = 840 - 7x + 12x - 0,1x^2 \] \[ R = 840 + 5x - 0,1x^2 \] Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất của doanh thu Doanh thu \( R \) là một hàm bậc hai có dạng \( R = -0,1x^2 + 5x + 840 \). Để tìm giá trị lớn nhất của hàm này, chúng ta sử dụng công thức đỉnh của parabol: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Trong đó \( a = -0,1 \) và \( b = 5 \): \[ x = -\frac{5}{2(-0,1)} \] \[ x = \frac{5}{0,2} \] \[ x = 25 \] Bước 6: Tính giá thuê tối ưu Giá thuê tối ưu sau 25 lần tăng là: \[ 7 + 0,1 \times 25 = 7 + 2,5 = 9,5 \text{ (triệu đồng)} \] Bước 7: Làm tròn kết quả Kết quả làm tròn đến hàng phần chục: \[ 9,5 \approx 9,5 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy, người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là 9,5 triệu đồng để doanh thu lớn nhất. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) để diện tích của mảnh bìa nhỏ nhất, với điều kiện thể tích của hộp là 250. Bước 1: Thiết lập phương trình thể tích Thể tích của hộp là: \[ V = x^2 \cdot h = 250 \] Từ đó, ta có: \[ h = \frac{250}{x^2} \] Bước 2: Biểu thức diện tích của mảnh bìa Diện tích của mảnh bìa bao gồm diện tích đáy và bốn mặt bên: \[ A = x^2 + 4xh \] Thay \( h = \frac{250}{x^2} \) vào, ta có: \[ A = x^2 + 4x \cdot \frac{250}{x^2} = x^2 + \frac{1000}{x} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta tính đạo hàm của \( A \) theo \( x \): \[ A' = 2x - \frac{1000}{x^2} \] Giải phương trình \( A' = 0 \): \[ 2x - \frac{1000}{x^2} = 0 \] \[ 2x^3 = 1000 \] \[ x^3 = 500 \] \[ x = \sqrt[3]{500} \] Bước 4: Kiểm tra giá trị nhỏ nhất Ta tính đạo hàm bậc hai để kiểm tra: \[ A'' = 2 + \frac{2000}{x^3} \] Với \( x > 0 \), \( A'' > 0 \), do đó \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = \sqrt[3]{500} \). Bước 5: Tính giá trị của \( x \) Tính \( x \) làm tròn đến hàng phần chục: \[ x \approx \sqrt[3]{500} \approx 7.9 \] Vậy, giá trị của \( x \) để diện tích của mảnh bìa nhỏ nhất là khoảng \( 7.9 \). Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các hằng số \(a\) và \(b\) trong hàm số \(P(t) = \frac{a}{b + e^{-0,75t}}\). Bước 1: Xác định giá trị ban đầu \(P(0)\) Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), quần thể có 40 tế bào: \[ P(0) = \frac{a}{b + e^{0}} = \frac{a}{b + 1} = 40 \] Do đó: \[ a = 40(b + 1) \quad \text{(1)} \] Bước 2: Xác định tốc độ tăng trưởng ban đầu \(P'(0)\) Tốc độ tăng trưởng ban đầu là 15 tế bào/giờ: \[ P'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{a}{b + e^{-0,75t}} \right) \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ P'(t) = \frac{-a \cdot (-0,75) e^{-0,75t}}{(b + e^{-0,75t})^2} = \frac{0,75a e^{-0,75t}}{(b + e^{-0,75t})^2} \] Tại \(t = 0\): \[ P'(0) = \frac{0,75a e^{0}}{(b + 1)^2} = \frac{0,75a}{(b + 1)^2} = 15 \] Do đó: \[ 0,75a = 15(b + 1)^2 \] \[ a = 20(b + 1)^2 \quad \text{(2)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm \(a\) và \(b\) Từ (1) và (2): \[ 40(b + 1) = 20(b + 1)^2 \] Chia cả hai vế cho 20: \[ 2(b + 1) = (b + 1)^2 \] \[ (b + 1)^2 - 2(b + 1) = 0 \] \[ (b + 1)(b + 1 - 2) = 0 \] \[ (b + 1)(b - 1) = 0 \] Do đó: \[ b + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad b - 1 = 0 \] \[ b = -1 \quad \text{hoặc} \quad b = 1 \] Vì \(b\) phải là số dương (do \(b + e^{-0,75t}\) phải luôn dương), nên: \[ b = 1 \] Thay \(b = 1\) vào (1): \[ a = 40(1 + 1) = 40 \times 2 = 80 \] Bước 4: Tính giá trị của \(a + b\) \[ a + b = 80 + 1 = 81 \] Đáp số: Giá trị của \(a + b\) là 81. Câu 6: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) có hệ số góc \( k = -3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) là: \[ y' = 3x^2 - 6x \] 2. Tìm điểm tiếp xúc có hệ số góc \( k = -3 \): Ta cần tìm \( x_0 \) sao cho: \[ y'(x_0) = 3x_0^2 - 6x_0 = -3 \] Giải phương trình: \[ 3x_0^2 - 6x_0 + 3 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x_0^2 - 2x_0 + 1 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai có nghiệm kép: \[ (x_0 - 1)^2 = 0 \Rightarrow x_0 = 1 \] 3. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: Thay \( x_0 = 1 \) vào hàm số để tìm \( y_0 \): \[ y_0 = 1^3 - 3 \times 1^2 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 \] Vậy điểm tiếp xúc là \( (1, -4) \). 4. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (1, -4) \) với hệ số góc \( k = -3 \) là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay các giá trị vào: \[ y + 4 = -3(x - 1) \] Rút gọn phương trình: \[ y + 4 = -3x + 3 \] \[ y = -3x - 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là \( y = -3x - 1 \). 5. Tính \( m + n \): Trong phương trình \( y = mx + n \), ta có \( m = -3 \) và \( n = -1 \). Do đó, \( m + n = -3 - 1 = -4 \). Kết luận: Giá trị \( m + n \) bằng \(-4\).