Cho tan x = 3 Tính giá trị biểu thức B = sin a-cosa /sin a+3 cos a+2sina

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần hiểu rõ các mối quan hệ lượng giác cơ bản và cách biểu diễn các hàm lượng giác thông qua nhau.

Cho $\tan x = 3$, ta có:
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \implies \sin x = 3\cos x
$$

Từ đó, ta có thể sử dụng công thức lượng giác cơ bản:
$$
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
$$

Thay $\sin x = 3\cos x$ vào phương trình trên:
$$
(3\cos x)^2 + \cos^2 x = 1
$$
$$
9\cos^2 x + \cos^2 x = 1
$$
$$
10\cos^2 x = 1
$$
$$
\cos^2 x = \frac{1}{10}
$$
$$
\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}
$$

Với $\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}}$, ta có:
$$
\sin x = 3\cos x = 3 \times \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}
$$

Với $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$, ta có:
$$
\sin x = 3\cos x = 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{10}}
$$

Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức $B = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + 3\cos x + 2\sin x}$.

Trường hợp 1: $\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}}$ và $\sin x = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$$
B = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}} - \frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}} + 3 \times \frac{1}{\sqrt{10}} + 2 \times \frac{3}{\sqrt{10}}}
$$
$$
= \frac{\frac{2}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{6}{\sqrt{10}}}
$$
$$
= \frac{\frac{2}{\sqrt{10}}}{\frac{12}{\sqrt{10}}}
$$
$$
= \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
$$

Trường hợp 2: $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{10}}$ và $\sin x = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

$$
B = \frac{-\frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}} - 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) + 2 \times \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)}
$$
$$
= \frac{-\frac{2}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{3}{\sqrt{10}} - \frac{6}{\sqrt{10}}}
$$
$$
= \frac{-\frac{2}{\sqrt{10}}}{-\frac{6}{\sqrt{10}}}
$$
$$
= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
$$

Vậy giá trị của biểu thức $B$ có thể là $\frac{1}{6}$ hoặc $\frac{1}{3}$ tùy thuộc vào giá trị của $\cos x$.