Cho biểu thức $A=\left(\frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-2\right):\frac{1}{x-1}$. Rút gọn biểu thức A.

Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 1, x \neq 4 \) Ta có: \[ A = \left( \frac{3x + \sqrt{9x} - 3}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - 2 \right) : \frac{1}{x - 1} \] Đầu tiên, ta rút gọn tử số của phân thức đầu tiên: \[ 3x + \sqrt{9x} - 3 = 3x + 3\sqrt{x} - 3 \] và mẫu số: \[ x + \sqrt{x} - 2 \] Nhận thấy rằng: \[ 3x + 3\sqrt{x} - 3 = 3(x + \sqrt{x} - 1) \] và \[ x + \sqrt{x} - 2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2) \] Do đó: \[ \frac{3x + \sqrt{9x} - 3}{x + \sqrt{x} - 2} = \frac{3(x + \sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] Tiếp theo, ta cộng các phân số còn lại: \[ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - 2 \] Quy đồng mẫu số chung: \[ = \frac{\sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 1 - 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] Rút gọn tử số: \[ = \frac{2\sqrt{x} + 1 - 2(x + \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ = \frac{2\sqrt{x} + 1 - 2x - 2\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ = \frac{-2x + 5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] Cuối cùng, ta có: \[ A = \left( \frac{3(x + \sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{-2x + 5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) : \frac{1}{x - 1} \] Gộp các phân số: \[ A = \left( \frac{3(x + \sqrt{x} - 1) - 2x + 5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) : \frac{1}{x - 1} \] Rút gọn tử số: \[ = \left( \frac{3x + 3\sqrt{x} - 3 - 2x + 5}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) : \frac{1}{x - 1} \] \[ = \left( \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) : \frac{1}{x - 1} \] Chia cho phân số: \[ A = \left( \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) \cdot (x - 1) \] Rút gọn: \[ A = \frac{(x + 3\sqrt{x} + 2)(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] Phân tích tử số: \[ (x + 3\sqrt{x} + 2)(x - 1) = x^2 + 3x\sqrt{x} + 2x - x - 3\sqrt{x} - 2 \] \[ = x^2 + 2x\sqrt{x} + x - 3\sqrt{x} - 2 \] Cuối cùng, ta có: \[ A = \frac{x^2 + 2x\sqrt{x} + x - 3\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] Vậy biểu thức rút gọn của \( A \) là: \[ A = \frac{x^2 + 2x\sqrt{x} + x - 3\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \]