giải chi tiết toán 12

Câu 18: Để tìm tọa độ tâm đối của đồ thị hàm số \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 \), ta cần tìm điểm \( I(m; n) \) sao cho đồ thị hàm số đối xứng qua điểm này. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \] Để tìm tọa độ tâm đối, ta cần tìm nghiệm của phương trình \( f''(x) = 0 \), trong đó \( f''(x) \) là đạo hàm bậc hai của \( f(x) \): \[ f''(x) = 6x + 6 \] Giải phương trình \( f''(x) = 0 \): \[ 6x + 6 = 0 \implies x = -1 \] Với \( x = -1 \), ta tìm giá trị của \( f(x) \) để xác định tọa độ \( n \): \[ f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 + 3 + 9 + 1 = 12 \] Vậy tọa độ tâm đối là \( I(-1; 12) \). Giá trị cần tìm là \( 2m + n \): \[ 2m + n = 2(-1) + 12 = -2 + 12 = 10 \] Do đó, giá trị của \( 2m + n \) là \( 10 \). Câu 19: Để tìm giá trị của \( t \) sao cho số người nhận phúc lợi \( n(t) \) đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của \( n(t) \). \[ n(t) = \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t \] Đạo hàm \( n(t) \): \[ n'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t \right) \] \[ n'(t) = t^2 - 12t + 32 \] Bước 2: Giải phương trình \( n'(t) = 0 \) để tìm các điểm dừng. \[ t^2 - 12t + 32 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} \] \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ t = \frac{12 \pm 4}{2} \] Do đó, ta có: \[ t = \frac{12 + 4}{2} = 8 \] \[ t = \frac{12 - 4}{2} = 4 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của \( n(t) \) tại các điểm dừng và tại biên của khoảng \( [0, 12] \). \[ n(0) = \frac{0^3}{3} - 6 \cdot 0^2 + 32 \cdot 0 = 0 \] \[ n(4) = \frac{4^3}{3} - 6 \cdot 4^2 + 32 \cdot 4 = \frac{64}{3} - 96 + 128 = \frac{64}{3} + 32 = \frac{64 + 96}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \] \[ n(8) = \frac{8^3}{3} - 6 \cdot 8^2 + 32 \cdot 8 = \frac{512}{3} - 384 + 256 = \frac{512}{3} - 128 = \frac{512 - 384}{3} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \] \[ n(12) = \frac{12^3}{3} - 6 \cdot 12^2 + 32 \cdot 12 = \frac{1728}{3} - 864 + 384 = 576 - 864 + 384 = 96 \] Bước 4: So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất. \[ n(0) = 0 \] \[ n(4) \approx 53.33 \] \[ n(8) \approx 42.67 \] \[ n(12) = 96 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của \( n(t) \) là 96, đạt được khi \( t = 12 \). Đáp án: Giá trị của \( t \) để số người nhận phúc lợi tối đa là 12 năm.