giải giúp e ạ

Câu 64: Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho nó song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính \( r = 3 \). Bước 1: Xác định điều kiện song song Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) có phương trình \( 2x - 2y + z - 7 = 0 \) nên mặt phẳng (Q) có dạng: \[ 2x - 2y + z + d = 0 \] với \( d \) là một hằng số cần xác định. Bước 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) Mặt cầu (S) có phương trình: \[ x^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 25 \] Từ đây, ta xác định được: - Tâm của mặt cầu \( I(0, 2, -1) \). - Bán kính của mặt cầu \( R = 5 \). Bước 3: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Q) Khoảng cách từ điểm \( I(0, 2, -1) \) đến mặt phẳng (Q) là: \[ d(I, (Q)) = \frac{|2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 + (-1) + d|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-4 - 1 + d|}{3} = \frac{|d - 5|}{3} \] Bước 4: Sử dụng điều kiện cắt mặt cầu theo đường tròn Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính \( r = 3 \). Theo công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu, ta có: \[ r^2 = R^2 - d(I, (Q))^2 \] \[ 3^2 = 5^2 - \left(\frac{|d - 5|}{3}\right)^2 \] \[ 9 = 25 - \frac{(d - 5)^2}{9} \] \[ \frac{(d - 5)^2}{9} = 16 \] \[ (d - 5)^2 = 144 \] \[ d - 5 = \pm 12 \] Bước 5: Tìm giá trị của \( d \) Từ phương trình trên, ta có hai trường hợp: 1. \( d - 5 = 12 \) dẫn đến \( d = 17 \). 2. \( d - 5 = -12 \) dẫn đến \( d = -7 \). Bước 6: Lập phương trình mặt phẳng (Q) Với \( d = 17 \), phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ 2x - 2y + z + 17 = 0 \] Với \( d = -7 \), phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ 2x - 2y + z - 7 = 0 \] Tuy nhiên, mặt phẳng (Q) phải khác mặt phẳng (P), do đó ta loại trường hợp \( d = -7 \). Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ 2x - 2y + z + 17 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là \( D.~2x-2y+z+17=0 \). Câu 65: Để tìm phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định mặt phẳng song song với (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: \[ x - 2y - 2z - 5 = 0 \] Mặt phẳng song song với (P) sẽ có dạng: \[ x - 2y - 2z + d = 0 \] với \(d\) là một hằng số cần xác định. 2. Tính bán kính và tâm của mặt cầu (S): Mặt cầu (S) có phương trình: \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+3)^2 = 4 \] Từ đây, ta xác định được tâm của mặt cầu \(I(1, -2, -3)\) và bán kính \(R = \sqrt{4} = 2\). 3. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng: Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, khoảng cách từ tâm \(I(1, -2, -3)\) đến mặt phẳng phải bằng bán kính \(R\). Công thức khoảng cách từ điểm \(I(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng cho mặt phẳng \(x - 2y - 2z + d = 0\), ta có: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) - 2 \cdot (-3) + d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} \] Tính toán: \[ d = \frac{|1 + 4 + 6 + d|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|11 + d|}{3} \] Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu, ta có: \[ \frac{|11 + d|}{3} = 2 \] Giải phương trình: \[ |11 + d| = 6 \] Từ đó, ta có hai trường hợp: - \(11 + d = 6 \Rightarrow d = -5\) - \(11 + d = -6 \Rightarrow d = -17\) 4. Kết luận: Phương trình mặt phẳng cần tìm là: - \(x - 2y - 2z - 5 = 0\) (trùng với mặt phẳng (P), không thỏa mãn yêu cầu) - \(x - 2y - 2z - 17 = 0\) Do đó, phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) là: \[ x - 2y - 2z - 17 = 0 \] Đáp án đúng là \(D.~-x+2y+2z+17=0\), nhưng cần chú ý rằng dấu của các hệ số có thể bị đảo do cách viết khác nhau, nhưng về bản chất là tương đương. Câu 66: Để giải bài toán này, ta cần tìm mặt phẳng \((Q)\) song song với mặt phẳng \((P)\) và cắt mặt cầu \((S)\) theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(6\pi\). Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\). Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z - 10 = 0. \] Ta đưa phương trình này về dạng chính tắc: - Nhóm các biến lại và hoàn thành bình phương: \[ (x^2 - 2x) + y^2 + (z^2 + 4z) = 10. \] - Hoàn thành bình phương: \[ (x-1)^2 - 1 + y^2 + (z+2)^2 - 4 = 10. \] - Đưa về dạng chính tắc: \[ (x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 15. \] Vậy, mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1, 0, -2)\) và bán kính \(R = \sqrt{15}\). Bước 2: Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến. Chu vi của đường tròn giao tuyến là \(6\pi\), do đó bán kính \(r\) của đường tròn là: \[ 2\pi r = 6\pi \Rightarrow r = 3. \] Bước 3: Tìm khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((Q)\). Vì \((Q)\) song song với \((P)\), nên \((Q)\) có dạng: \[ x - 2y + z + d = 0. \] Khoảng cách từ tâm \(I(1, 0, -2)\) đến mặt phẳng \((Q)\) là: \[ \text{d}(I, (Q)) = \frac{|1 - 2 \cdot 0 - 2 + d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|d - 1|}{\sqrt{6}}. \] Theo công thức giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu, ta có: \[ \sqrt{R^2 - r^2} = \frac{|d - 1|}{\sqrt{6}}. \] Thay \(R = \sqrt{15}\) và \(r = 3\) vào, ta có: \[ \sqrt{15 - 9} = \frac{|d - 1|}{\sqrt{6}} \Rightarrow \sqrt{6} = \frac{|d - 1|}{\sqrt{6}}. \] Giải phương trình trên, ta được: \[ |d - 1| = 6. \] Do đó, \(d - 1 = 6\) hoặc \(d - 1 = -6\), suy ra \(d = 7\) hoặc \(d = -5\). Bước 4: Kiểm tra các điểm đã cho. Mặt phẳng \((Q)\) có thể là: 1. \(x - 2y + z + 7 = 0\) 2. \(x - 2y + z - 5 = 0\) Kiểm tra từng điểm: - Điểm \(A(6, 0, 1)\): \[ 6 - 2 \cdot 0 + 1 + 7 = 14 \neq 0, \quad 6 - 2 \cdot 0 + 1 - 5 = 2 \neq 0. \] - Điểm \(B(-3, 1, 4)\): \[ -3 - 2 \cdot 1 + 4 + 7 = 6 \neq 0, \quad -3 - 2 \cdot 1 + 4 - 5 = -6 \neq 0. \] - Điểm \(C(-2, -1, 5)\): \[ -2 - 2 \cdot (-1) + 5 + 7 = 12 \neq 0, \quad -2 - 2 \cdot (-1) + 5 - 5 = 0. \] - Điểm \(D(4, -1, -2)\): \[ 4 - 2 \cdot (-1) - 2 + 7 = 11 \neq 0, \quad 4 - 2 \cdot (-1) - 2 - 5 = 1 \neq 0. \] Vậy, mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(C(-2, -1, 5)\). Đáp án đúng là \(C\). Câu 67: Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình của mặt cầu \((S)\) sao cho mặt phẳng \((P)\) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích \(2\pi\). Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm \(I(0; -2; 1)\) của mặt cầu đến mặt phẳng \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \[ x + 2y - 2z + 3 = 0. \] Khoảng cách từ điểm \(I(0; -2; 1)\) đến mặt phẳng \((P)\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|0 + 2(-2) - 2(1) + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|0 - 4 - 2 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-3|}{3} = 1. \] Bước 2: Sử dụng công thức diện tích đường tròn giao tuyến. Diện tích của đường tròn giao tuyến là \(2\pi\), do đó bán kính \(r\) của đường tròn này thỏa mãn: \[ \pi r^2 = 2\pi \Rightarrow r^2 = 2 \Rightarrow r = \sqrt{2}. \] Bước 3: Liên hệ giữa bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến. Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \((S)\). Theo công thức liên hệ giữa bán kính mặt cầu, bán kính đường tròn giao tuyến và khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng: \[ r^2 = R^2 - d^2. \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 2 = R^2 - 1 \Rightarrow R^2 = 3. \] Bước 4: Viết phương trình mặt cầu. Vì tâm của mặt cầu là \(I(0; -2; 1)\) và bán kính \(R = \sqrt{3}\), phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ (x - 0)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 3. \] Do đó, phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ x^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 3. \] Kết luận: Phương trình mặt cầu \((S)\) là \(x^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 3\), tương ứng với đáp án \(B\). Câu 68: Để giải bài toán này, ta cần tìm phương trình của mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-3, 0, 1)\) và cắt mặt phẳng \((P): x - 2y - 2z - 1 = 0\) theo một thiết diện là một hình tròn có diện tích bằng \(x\). 1. Tính khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((P)\): Công thức tính khoảng cách từ điểm \(I(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(ax + by + cz + d = 0\) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng cho điểm \(I(-3, 0, 1)\) và mặt phẳng \((P): x - 2y - 2z - 1 = 0\), ta có: \[ d = \frac{|-3 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot (-2) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3 - 2 - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-6|}{3} = 2 \] 2. Tính bán kính của mặt cầu \((S)\): Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \((S)\), \(r\) là bán kính của hình tròn giao tuyến. Theo công thức diện tích hình tròn, ta có: \[ \pi r^2 = x \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{\frac{x}{\pi}} \] Theo tính chất của mặt cầu cắt mặt phẳng, ta có: \[ R^2 = d^2 + r^2 \] Thay \(d = 2\) và \(r = \sqrt{\frac{x}{\pi}}\) vào, ta có: \[ R^2 = 2^2 + \left(\sqrt{\frac{x}{\pi}}\right)^2 = 4 + \frac{x}{\pi} \] 3. Xác định phương trình mặt cầu \((S)\): Phương trình mặt cầu \((S)\) có dạng: \[ (x + 3)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = R^2 \] Với \(R^2 = 4 + \frac{x}{\pi}\), ta cần so sánh với các đáp án đã cho: - Đáp án A: \((x+3)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 4\) - Đáp án B: \((x+3)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 25\) - Đáp án C: \((x+3)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 5\) - Đáp án D: \((x+3)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 2\) Để diện tích hình tròn là \(x\), ta cần \(R^2 = 4 + \frac{x}{\pi}\) khớp với một trong các giá trị trên. Chỉ có đáp án A với \(R^2 = 4\) là phù hợp khi \(x = 0\). Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ \boxed{A.~(x+3)^2+y^2+(z-1)^2=4} \] Câu 69: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\). Phương trình mặt cầu \((S)\) là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 2 = 0. \] Ta đưa phương trình về dạng chuẩn bằng cách hoàn thành bình phương: - Với \(x\): \(x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1\). - Với \(y\): \(y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4\). - Với \(z\): \(z^2 - 6z = (z-3)^2 - 9\). Thay vào phương trình mặt cầu, ta có: \[ (x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + (z-3)^2 - 9 - 2 = 0. \] \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 16. \] Vậy, mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1, 2, 3)\) và bán kính \(R = 4\). Bước 2: Xác định mặt phẳng \((B)\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\) và tiếp xúc với mặt cầu \((S)\). Mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình: \[ 4x + 3y - 12z + 10 = 0. \] Mặt phẳng \((B)\) song song với \((\alpha)\) nên có dạng: \[ 4x + 3y - 12z + D = 0. \] Do \((B)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\), khoảng cách từ tâm \(I(1, 2, 3)\) đến mặt phẳng \((B)\) phải bằng bán kính \(R = 4\). Khoảng cách từ điểm \(I(1, 2, 3)\) đến mặt phẳng \((B)\) là: \[ \frac{|4 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 12 \cdot 3 + D|}{\sqrt{4^2 + 3^2 + (-12)^2}} = 4. \] Tính toán: \[ \frac{|4 + 6 - 36 + D|}{\sqrt{16 + 9 + 144}} = 4. \] \[ \frac{|D - 26|}{13} = 4. \] Giải phương trình: \[ |D - 26| = 52. \] Có hai trường hợp: 1. \(D - 26 = 52 \Rightarrow D = 78\). 2. \(D - 26 = -52 \Rightarrow D = -26\). Bước 3: Chọn mặt phẳng \((B)\) cắt trục \(Oz\) tại điểm có cao độ dương. Mặt phẳng \((B)\) cắt trục \(Oz\) khi \(x = 0\) và \(y = 0\), ta có: \[ -12z + D = 0 \Rightarrow z = \frac{D}{12}. \] - Với \(D = 78\), \(z = \frac{78}{12} = 6.5\) (cao độ dương). - Với \(D = -26\), \(z = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}\) (cao độ âm). Vậy, mặt phẳng \((B)\) cần tìm là: \[ 4x + 3y - 12z + 78 = 0. \] Do đó, đáp án đúng là \(A.~4x+3y-12z-78=0.\) Câu 70: Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) để mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng 1 điểm chung, ta cần xét điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S). Mặt cầu (S) có phương trình: \[ (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z+2)^2 = 4 \] Từ đó, ta xác định được: - Tâm \( I(2, -1, -2) \) - Bán kính \( R = 2 \) Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm \( I \) của mặt cầu đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có phương trình: \[ 4x - 3y - m = 0 \] Khoảng cách từ điểm \( I(2, -1, -2) \) đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức: \[ d = \frac{|4 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) - m|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2}} \] \[ = \frac{|8 + 3 - m|}{\sqrt{16 + 9}} \] \[ = \frac{|11 - m|}{5} \] Bước 3: Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \( I \) đến mặt phẳng bằng bán kính của mặt cầu, tức là: \[ \frac{|11 - m|}{5} = 2 \] Giải phương trình trên: \[ |11 - m| = 10 \] Điều này dẫn đến hai trường hợp: 1. \( 11 - m = 10 \) \(\Rightarrow m = 1\) 2. \( 11 - m = -10 \) \(\Rightarrow m = 21\) Kết luận: Vậy các giá trị của \( m \) để mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có đúng 1 điểm chung là \( m = 1 \) hoặc \( m = 21 \). Đáp án đúng là \( C.~m=1 \) hoặc \( m=21. \)