giải chuyên môn

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định các véc-tơ trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo yêu cầu. a) Cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) Các véc-tơ cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) là các véc-tơ có cùng hướng hoặc ngược hướng với \(\overrightarrow{AB}\). Trong hình hộp, các véc-tơ này bao gồm: - \(\overrightarrow{CD}\) - \(\overrightarrow{A'B'}\) - \(\overrightarrow{C'D'}\) b) Cùng phương với \(\overrightarrow{AA'}\) Các véc-tơ cùng phương với \(\overrightarrow{AA'}\) là các véc-tơ có cùng hướng hoặc ngược hướng với \(\overrightarrow{AA'}\). Trong hình hộp, các véc-tơ này bao gồm: - \(\overrightarrow{BB'}\) - \(\overrightarrow{CC'}\) - \(\overrightarrow{DD'}\) c) Bằng với \(\overrightarrow{AD}\) Véc-tơ bằng với \(\overrightarrow{AD}\) có cùng độ dài và hướng với \(\overrightarrow{AD}\). Trong hình hộp, véc-tơ này là: - \(\overrightarrow{BC}\) d) Bằng với \(\overrightarrow{A'B}\) Véc-tơ bằng với \(\overrightarrow{A'B}\) có cùng độ dài và hướng với \(\overrightarrow{A'B}\). Trong hình hộp, véc-tơ này là: - \(\overrightarrow{C'D}\) e) Đối với \(\overrightarrow{CD}\) Véc-tơ đối với \(\overrightarrow{CD}\) có cùng độ dài nhưng ngược hướng với \(\overrightarrow{CD}\). Trong hình hộp, véc-tơ này là: - \(\overrightarrow{DC}\) f) Đối với \(\overrightarrow{BC}\) Véc-tơ đối với \(\overrightarrow{BC}\) có cùng độ dài nhưng ngược hướng với \(\overrightarrow{BC}\). Trong hình hộp, véc-tơ này là: - \(\overrightarrow{CB}\) Trên đây là các véc-tơ thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Bài 2: Để chứng minh các đẳng thức vectơ trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành, ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ và hình bình hành. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần: a) Chứng minh \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{ND}\): - Vì M là trung điểm của AB, ta có: \(\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). - Vì N là trung điểm của CD, ta có: \(\overrightarrow{ND} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD}\). - Trong hình bình hành ABCD, ta có: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}\). - Do đó, \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{CB}\). - Mặt khác, \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{ND} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{CB}\). - Vậy, \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{ND}\). b) Chứng minh \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\): - Trong hình bình hành ABCD, ta có: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). - Xét tổng các vectơ từ S đến các đỉnh của hình bình hành: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \] - Điều này đúng vì trong hình bình hành, tổng các vectơ từ một điểm ngoài đến các đỉnh đối diện là bằng nhau. c) Chứng minh \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}\): - O là trung điểm của AC, do đó \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}\). - Tương tự, \(\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}\). - Tổng các vectơ từ S đến các đỉnh của hình bình hành: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}) + (\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}) \] - Từ b), ta có \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\). - Do đó, \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 2(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}) = 4\overrightarrow{SO}\). d) Chứng minh \(\overrightarrow{BB} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{BC}\): - Vì N là trung điểm của CD, ta có: \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD}\). - Vì M là trung điểm của AB, ta có: \(\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\). - Trong hình bình hành, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}\). - Do đó, \(\overrightarrow{BB} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{BC} - (\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD}) - (\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB})\). - Suy ra, \(\overrightarrow{BB} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{BC}\). Vậy, tất cả các đẳng thức đã được chứng minh. Bài 3: Có vẻ như đề bài của bạn có một số lỗi đánh máy và không rõ ràng. Tuy nhiên, tôi sẽ cố gắng giải quyết các phần mà tôi có thể hiểu được từ đề bài. Phần 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ a) Chứng minh: \(\overrightarrow{CC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{D^\prime A^\prime} = \overrightarrow{CA^\prime}\) Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Ta có: - \(\overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0}\) vì đây là vectơ không. - \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\). - \(\overrightarrow{D^\prime A^\prime} = -\overrightarrow{A^\prime D^\prime}\). Do đó, \(\overrightarrow{CC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{D^\prime A^\prime} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{A^\prime D^\prime}\). Ta cần chứng minh \(-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{CA^\prime}\). Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{CA^\prime} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA^\prime}\). Vì \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DA^\prime} = \overrightarrow{A^\prime D^\prime}\), ta có: \(\overrightarrow{CA^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime}\). Do đó, \(-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{CA^\prime}\). b) Chứng minh: \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA^2} = \overrightarrow{AC}\) Có vẻ như có lỗi đánh máy ở phần này, vì không có vectơ \(\overrightarrow{AA^2}\) trong hình lập phương. Tôi sẽ giả định rằng bạn muốn chứng minh \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}\). Ta có: - \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\). - \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}\). Do đó, \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}) = 2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}\). Trong hình lập phương, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\). Vì \(\overrightarrow{A} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}\), ta có: \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C}) = 2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}\). Do đó, \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}\). Phần 2: Tính độ lớn hợp lực a) Tính độ lớn hợp lực của hai lực \(\overrightarrow{E}_2\) và \(\overrightarrow{F}_3\) Giả sử hai lực \(\overrightarrow{E}_2\) và \(\overrightarrow{F}_3\) có độ lớn lần lượt là 2N và 3N, và chúng vuông góc với nhau. Độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow{R}\) được tính bằng định lý Pythagore: \[ R = \sqrt{E_2^2 + F_3^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] b) Tính độ lớn hợp lực của ba lực đã cho Ba lực có độ lớn lần lượt là 2N, 3N, và 4N, và chúng đôi một vuông góc với nhau. Độ lớn của hợp lực \(\overrightarrow{R}\) là: \[ R = \sqrt{E_2^2 + F_3^2 + G_4^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \] Hy vọng rằng các giải thích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán. Nếu có phần nào chưa rõ hoặc cần thêm thông tin, vui lòng cho tôi biết!