giúp mình với

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(a\), \(b\), \(c\) đối diện với các góc \(A\), \(B\), \(C\) tương ứng, được phát biểu như sau: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \] Chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề để xác định mệnh đề nào đúng: - Mệnh đề A: \(a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A\) Mệnh đề này không đúng vì theo định lý cosin, dấu của \(2bc \cos A\) phải là dấu trừ, không phải dấu cộng. - Mệnh đề B: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\) Mệnh đề này đúng theo định lý cosin. - Mệnh đề C: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos C\) Mệnh đề này không đúng vì theo định lý cosin, nếu \(a^2\) đứng một mình, thì phải là \(-2bc \cos A\), không phải \(-2bc \cos C\). - Mệnh đề D: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos B\) Mệnh đề này không đúng vì theo định lý cosin, nếu \(a^2\) đứng một mình, thì phải là \(-2bc \cos A\), không phải \(-2bc \cos B\). Vậy, mệnh đề đúng là mệnh đề B: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). Câu 2: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho biết: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong tam giác \( ABC \), ta có: - \( \widehat C = 60^\circ \) - \( BC = a = 9 \, \text{cm} \) - \( AC = b = 7 \, \text{cm} \) - \( AB = c \) Áp dụng định lý cosin cho góc \( C \): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ c^2 = 9^2 + 7^2 - 2 \cdot 9 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ \] Biết rằng \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), ta có: \[ c^2 = 81 + 49 - 2 \cdot 9 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 81 + 49 - 63 \] \[ c^2 = 67 \] Bây giờ, ta cần tìm góc \( \widehat A \). Sử dụng định lý cosin cho góc \( A \): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 9^2 = 7^2 + 67 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{67} \cdot \cos A \] \[ 81 = 49 + 67 - 14 \cdot \sqrt{67} \cdot \cos A \] \[ 81 = 116 - 14 \cdot \sqrt{67} \cdot \cos A \] \[ 14 \cdot \sqrt{67} \cdot \cos A = 116 - 81 \] \[ 14 \cdot \sqrt{67} \cdot \cos A = 35 \] \[ \cos A = \frac{35}{14 \cdot \sqrt{67}} \] Tính giá trị của \( \cos A \) và tìm góc \( A \) bằng cách sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính: Sau khi tính toán, ta tìm được: \[ \widehat A \approx 68^\circ \] Vậy đáp án đúng là \( A. \, 68^\circ \). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) với góc \(A\) là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Với \(A = 120^\circ\), ta có \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). Thay giá trị của \(\cos 120^\circ\) vào công thức định lý cosin, ta được: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ a^2 = b^2 + c^2 + bc \] Vậy đẳng thức đúng là: \[ a^2 = b^2 + c^2 + bc \] Do đó, đáp án đúng là \(B.~a^2 = b^2 + c^2 + bc.\) Câu 4: Để tìm độ dài cạnh \( AC \) của tam giác \( \Delta ABC \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( \Delta ABC \) với góc \( \widehat{B} \) là: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B}) \] Với các giá trị đã cho: - \( \widehat{B} = 60^\circ \) - \( BC = 8 \) - \( AB = 5 \) Ta có: \[ AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] Biết rằng \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), ta thay vào công thức: \[ AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ AC^2 = 25 + 64 - 40 \] \[ AC^2 = 49 \] Suy ra: \[ AC = \sqrt{49} = 7 \] Vậy độ dài cạnh \( AC \) bằng 7. Đáp án đúng là B. 7. Câu 5: Để tính góc \( A \) của tam giác \( ABC \) với các cạnh \( a = 24 \), \( b = 13 \), \( c = 15 \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho biết: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ \cos A = \frac{13^2 + 15^2 - 24^2}{2 \times 13 \times 15} \] Tính từng phần: - \( 13^2 = 169 \) - \( 15^2 = 225 \) - \( 24^2 = 576 \) Thay vào công thức: \[ \cos A = \frac{169 + 225 - 576}{2 \times 13 \times 15} = \frac{394 - 576}{390} = \frac{-182}{390} \] Rút gọn phân số: \[ \cos A = \frac{-91}{195} \] Sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị cosin để tìm góc \( A \) khi \(\cos A = \frac{-91}{195}\). Sau khi tính toán, ta tìm được góc \( A \approx 117^\circ49^\prime \). Vậy đáp án đúng là \( C.~117^\circ49^\prime \). Câu 6: Để tìm độ dài cạnh \( c \) của tam giác \( ABC \) với \( a = 8 \), \( b = 10 \), và góc \( C = 60^\circ \), ta sử dụng định lý cosin: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Với \( a = 8 \), \( b = 10 \), và \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), ta thay vào công thức: \[ c^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 64 + 100 - 80 \] \[ c^2 = 84 \] Do đó, độ dài cạnh \( c \) là: \[ c = \sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21} \] Vậy đáp án đúng là \( D.~c=2\sqrt{21} \). Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Từ công thức trên, ta có thể suy ra biểu thức của \(\cos C\): \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh với các mệnh đề đã cho: - Mệnh đề A: \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{bc}\) - Mệnh đề B: \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) - Mệnh đề C: \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2bc}\) - Mệnh đề D: \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab}\) So sánh với kết quả từ định lý cosin, ta thấy mệnh đề B là đúng: \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] Vậy, mệnh đề đúng là mệnh đề B. Câu 8: Để tìm độ dài cạnh \( c \) của tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) với các cạnh \( a, b, c \) và góc \( C \) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong bài toán này, ta có: - \( a = 6 \) - \( b = 10 \) - \( \cos C = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) Thay các giá trị này vào công thức định lý cosin: \[ c^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \] Tính từng phần: \[ 6^2 = 36 \] \[ 10^2 = 100 \] \[ 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 60 \] Thay vào công thức: \[ c^2 = 36 + 100 - 60 = 76 \] Do đó, độ dài cạnh \( c \) là: \[ c = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \] Vậy độ dài cạnh \( c \) là \( 2\sqrt{19} \). Đáp án đúng là \( B. ~c = 2\sqrt{19} \). Câu 9: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho biết: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong tam giác \( \triangle ABC \), ta có: - \( \widehat{C} = 150^\circ \) - \( BC = \sqrt{3} \) - \( AC = 2 \) Cần tìm độ dài cạnh \( AB \), ký hiệu là \( c \). Áp dụng định lý cosin, ta có: \[ c^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos 150^\circ \] Ta biết rằng: \[ \cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào công thức, ta được: \[ c^2 = 3 + 4 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ c^2 = 3 + 4 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ c^2 = 3 + 4 + 2 \cdot 3 \] \[ c^2 = 3 + 4 + 6 \] \[ c^2 = 13 \] Do đó, \( c = \sqrt{13} \). Vậy, độ dài cạnh \( AB \) là \( \sqrt{13} \). Đáp án đúng là \( D. \sqrt{13} \). Câu 10: Để tính góc \( \widehat{A} \) của tam giác \( ABC \) với các cạnh \( a = 24 \), \( b = 13 \), \( c = 15 \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho biết: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ 24^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \cos A \] Tính các bình phương: \[ 576 = 169 + 225 - 390 \cdot \cos A \] Cộng các số hạng bên phải: \[ 576 = 394 - 390 \cdot \cos A \] Chuyển vế và tính toán: \[ 390 \cdot \cos A = 394 - 576 \] \[ 390 \cdot \cos A = -182 \] Tìm \( \cos A \): \[ \cos A = \frac{-182}{390} \] Rút gọn phân số: \[ \cos A = \frac{-91}{195} \] Sử dụng máy tính hoặc bảng giá trị để tìm góc \( A \) khi \( \cos A = \frac{-91}{195} \). Ta tìm được: \[ A \approx 117^\circ 49^\prime \] Vậy, góc \( \widehat{A} \) là \( 117^\circ 49^\prime \). Đáp án đúng là \( D. \) \( 117^\circ 49^\prime \). Câu 11: Để tìm giá trị của \(\cos A\) trong tam giác \(ABC\), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) có dạng: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Với \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 8\), ta thay vào công thức: \[ 5^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos A \] Tính các bình phương: \[ 25 = 49 + 64 - 112 \cdot \cos A \] Cộng hai số hạng bên phải: \[ 25 = 113 - 112 \cdot \cos A \] Chuyển \(113\) sang vế trái: \[ 25 - 113 = -112 \cdot \cos A \] \[ -88 = -112 \cdot \cos A \] Chia cả hai vế cho \(-112\): \[ \cos A = \frac{-88}{-112} = \frac{88}{112} \] Rút gọn phân số: \[ \cos A = \frac{11}{14} \] Vậy giá trị của \(\cos A\) là \(\frac{11}{14}\). Đáp án đúng là \(D.~\frac{11}{14}\). Câu 12: Để tìm độ dài cạnh \( c \) của tam giác \( ABC \) với \( a = 8 \), \( b = 10 \), và góc \( C = 60^\circ \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ c^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ \] Ta biết rằng \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Do đó, phương trình trở thành: \[ c^2 = 64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 64 + 100 - 80 \] \[ c^2 = 84 \] Lấy căn bậc hai hai vế, ta được: \[ c = \sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21} \] Vậy độ dài cạnh \( c \) là \( 2\sqrt{21} \). Đáp án đúng là \( D.~c=2\sqrt{21} \). Câu 13: Để tính số đo của góc $\widehat{ACB}$ trong tam giác $\Delta ABC$, ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác $ABC$ có dạng: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong đó: - $a = BC = 7$ - $b = AC = 8$ - $c = AB = 13$ - $C = \widehat{ACB}$ Áp dụng định lý cosin, ta có: \[ 13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos C \] Tính các bình phương: \[ 169 = 49 + 64 - 112 \cdot \cos C \] \[ 169 = 113 - 112 \cdot \cos C \] Chuyển vế và giải phương trình: \[ 112 \cdot \cos C = 113 - 169 \] \[ 112 \cdot \cos C = -56 \] \[ \cos C = \frac{-56}{112} \] \[ \cos C = -\frac{1}{2} \] Góc $C$ có $\cos C = -\frac{1}{2}$ là góc $120^\circ$ (vì trong nửa đường tròn đơn vị, góc có $\cos$ âm và bằng $-\frac{1}{2}$ là $120^\circ$). Vậy số đo của góc $\widehat{ACB}$ là $120^\circ$. Do đó, đáp án đúng là $B.~120^\circ$. Câu 14: Để tìm độ dài cạnh \( c \) của tam giác \( ABC \) với \( \widehat{C} = 60^\circ \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) là: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Với \( a = 7 \), \( b = 6 \), và \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), ta thay vào công thức: \[ c^2 = 7^2 + 6^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \] Tính từng phần: \[ 7^2 = 49 \] \[ 6^2 = 36 \] \[ 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 42 \] Thay các giá trị này vào công thức: \[ c^2 = 49 + 36 - 42 \] \[ c^2 = 85 - 42 \] \[ c^2 = 43 \] Do đó, độ dài cạnh \( c \) là: \[ c = \sqrt{43} \] Vậy đáp án đúng là \( B.~\sqrt{43} \). Câu 15: Để tính độ dài cạnh $b$ của tam giác $\Delta ABC$, ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác $\Delta ABC$ có dạng: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos B \] Trong đó: - $a = 5$ - $c = 4$ - $\widehat{B} = 60^\circ$ Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 4^2 = 5^2 + b^2 - 2 \cdot 5 \cdot b \cdot \cos 60^\circ \] Ta biết rằng $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, do đó: \[ 16 = 25 + b^2 - 2 \cdot 5 \cdot b \cdot \frac{1}{2} \] \[ 16 = 25 + b^2 - 5b \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ b^2 - 5b + 25 - 16 = 0 \] \[ b^2 - 5b + 9 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai có dạng $b^2 - 5b + 9 = 0$. Ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \] Với $A = 1$, $B = -5$, $C = 9$, ta có: \[ b = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \] \[ b = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36}}{2} \] \[ b = \frac{5 \pm \sqrt{-11}}{2} \] Tuy nhiên, có vẻ như đã có sai sót trong quá trình tính toán vì không thể có căn bậc hai của số âm trong trường hợp này. Hãy kiểm tra lại: Quay lại phương trình: \[ b^2 - 5b + 9 = 0 \] Thực hiện lại phép tính: \[ b^2 - 5b + 9 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ b = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36}}{2} \] \[ b = \frac{5 \pm \sqrt{-11}}{2} \] Có vẻ như đã có sai sót trong việc tính toán. Hãy kiểm tra lại các bước trước đó hoặc xem xét lại các giá trị đã cho. Tuy nhiên, nếu không có sai sót, có thể cần xem xét lại bài toán hoặc các giá trị đã cho. Câu 16: Để tính độ dài cạnh \( BC = a \) của tam giác \( ABC \) với \( AC = b = 6 \), \( AB = c = 16 \) và \(\widehat{A} = 60^\circ\), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ a^2 = 6^2 + 16^2 - 2 \cdot 6 \cdot 16 \cdot \cos 60^\circ \] Ta biết \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), do đó: \[ a^2 = 36 + 256 - 2 \cdot 6 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} \] \[ a^2 = 36 + 256 - 96 \] \[ a^2 = 292 - 96 \] \[ a^2 = 196 \] Lấy căn bậc hai hai vế, ta được: \[ a = \sqrt{196} = 14 \] Vậy độ dài cạnh \( BC = a = 14 \). Đáp án đúng là \( A.~a=14. \) Câu 17: Để tìm độ dài cạnh \( b \) của tam giác \( ABC \) với \( a = 8 \), \( c = 3 \), và \( \widehat{B} = 60^\circ \), ta sử dụng định lý cosin: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ b^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ \] Ta biết rằng \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), do đó: \[ b^2 = 64 + 9 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \] \[ b^2 = 64 + 9 - 24 \] \[ b^2 = 49 \] Lấy căn bậc hai hai vế, ta được: \[ b = \sqrt{49} = 7 \] Vậy độ dài cạnh \( b \) là 7. Đáp án đúng là C. 7. Câu 18: Để tính góc \( B \) của tam giác \( ABC \) với các cạnh \( a = 13 \), \( b = 24 \), \( c = 15 \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho biết: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \] Thay các giá trị đã cho vào công thức: \[ 24^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \cos B \] Tính các bình phương: \[ 576 = 169 + 225 - 390 \cdot \cos B \] Cộng các số hạng bên phải: \[ 576 = 394 - 390 \cdot \cos B \] Chuyển vế và giải phương trình: \[ 390 \cdot \cos B = 394 - 576 \] \[ 390 \cdot \cos B = -182 \] \[ \cos B = \frac{-182}{390} \] \[ \cos B = -\frac{91}{195} \] Bây giờ, ta cần tìm góc \( B \) sao cho \(\cos B = -\frac{91}{195}\). Sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính để tìm góc \( B \): Góc \( B \approx 117^\circ 49^\prime \). Vậy đáp án đúng là A. \( 117^\circ 49^\prime \). Câu 19: Để tìm độ dài cạnh \( b \) của tam giác \( ABC \) với \( a = 8 \), \( c = 3 \), và \(\widehat{B} = 60^\circ\), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( ABC \) là: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ b^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ \] Ta biết rằng \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), do đó: \[ b^2 = 64 + 9 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \] \[ b^2 = 64 + 9 - 24 \] \[ b^2 = 49 \] Lấy căn bậc hai hai vế, ta được: \[ b = \sqrt{49} = 7 \] Vậy độ dài cạnh \( b \) là 7. Đáp án đúng là A. 7. Câu 20: Để tìm số đo góc \(\widehat{A}\) của tam giác \(ABC\), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho biết: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Trong đó \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = \sqrt{3}\). Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ (\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos C \] \[ 3 = 1 + 4 - 4 \cdot \cos C \] \[ 3 = 5 - 4 \cdot \cos C \] \[ 4 \cdot \cos C = 5 - 3 \] \[ 4 \cdot \cos C = 2 \] \[ \cos C = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Góc \(C\) có \(\cos C = \frac{1}{2}\) thì \(\widehat{C} = 60^\circ\). Vì tam giác \(ABC\) có tổng ba góc bằng \(180^\circ\), ta có: \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \] \[ \widehat{A} + \widehat{B} + 60^\circ = 180^\circ \] \[ \widehat{A} + \widehat{B} = 120^\circ \] Do đó, ta cần kiểm tra các đáp án để tìm góc \(\widehat{A}\). Ta có thể sử dụng định lý sin để kiểm tra: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] \[ \frac{1}{\sin A} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \] \[ \sin A = \frac{1}{2} \] Góc \(\widehat{A}\) có \(\sin A = \frac{1}{2}\) thì \(\widehat{A} = 30^\circ\). Vậy số đo góc \(\widehat{A}\) là \(30^\circ\). Đáp án đúng là \(D. 30^\circ\). Câu 21: Để tính độ dài cạnh \( a \) của tam giác \( \triangle ABC \) với \( \widehat{A} = 60^\circ \), \( b = 5 \), và \( c = 2 \), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \( \triangle ABC \) là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ a^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ \] Ta biết rằng \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), do đó: \[ a^2 = 25 + 4 - 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ a^2 = 25 + 4 - 10 \] \[ a^2 = 19 \] Do đó, độ dài cạnh \( a \) là: \[ a = \sqrt{19} \] Vậy đáp án đúng là \( D. \sqrt{19} \). Câu 22: Để tính góc \(\widehat{BAC}\) trong tam giác \(ABC\), ta có thể sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) với các cạnh \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\) là: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] Trong bài toán này, ta có: - \(AB = a\) - \(AC = a\sqrt{3}\) - \(BC = a\sqrt{7}\) Áp dụng định lý cosin, ta có: \[ (a\sqrt{7})^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 - 2 \cdot a \cdot a\sqrt{3} \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] Tính các bình phương: \[ a^2 \cdot 7 = a^2 + 3a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] \[ 7a^2 = 4a^2 - 2a^2\sqrt{3} \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] Chuyển vế và rút gọn: \[ 7a^2 - 4a^2 = -2a^2\sqrt{3} \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] \[ 3a^2 = 2a^2\sqrt{3} \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] Chia cả hai vế cho \(a^2\) (với \(a \neq 0\)): \[ 3 = 2\sqrt{3} \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] Rút gọn để tìm \(\cos(\widehat{BAC})\): \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{3}{2\sqrt{3}} \] Rút gọn phân số: \[ \cos(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Góc có cosin bằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) là \(30^\circ\). Vậy góc \(\widehat{BAC} = 30^\circ\). Đáp án đúng là \(C.~30^\circ\).