Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cosin và các công thức liên quan đến tam giác. Bước 1: Tính độ dài cạnh \(a\) sử dụng định lý cosin Định lý cosin cho tam giác \(ABC\) có dạng: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Với \(b = 7\), \(c = 5\), và \(\widehat{A} = 120^\circ\), ta có: \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \] Thay vào công thức: \[ a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ a^2 = 49 + 25 + 35 \] \[ a^2 = 109 \] \[ a = \sqrt{109} \] Vậy, độ dài cạnh \(a\) là \(\sqrt{109}~cm\). Bước 2: Tính \(\cos C\) và \(\cos B\) sử dụng định lý cosin Sử dụng định lý cosin cho góc \(C\): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \] Thay các giá trị đã biết: \[ 5^2 = (\sqrt{109})^2 + 7^2 - 2 \cdot \sqrt{109} \cdot 7 \cdot \cos C \] \[ 25 = 109 + 49 - 14\sqrt{109} \cdot \cos C \] \[ 14\sqrt{109} \cdot \cos C = 158 - 25 \] \[ 14\sqrt{109} \cdot \cos C = 133 \] \[ \cos C = \frac{133}{14\sqrt{109}} \] Tính giá trị gần đúng: \[ \cos C \approx 0.91 \] Sử dụng định lý cosin cho góc \(B\): \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \] Thay các giá trị đã biết: \[ 7^2 = (\sqrt{109})^2 + 5^2 - 2 \cdot \sqrt{109} \cdot 5 \cdot \cos B \] \[ 49 = 109 + 25 - 10\sqrt{109} \cdot \cos B \] \[ 10\sqrt{109} \cdot \cos B = 134 - 49 \] \[ 10\sqrt{109} \cdot \cos B = 85 \] \[ \cos B = \frac{85}{10\sqrt{109}} \] Tính giá trị gần đúng: \[ \cos B \approx 0.21 \] Bước 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: \[ R = \frac{a}{2\sin A} \] Với \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta có: \[ R = \frac{\sqrt{109}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ R = \frac{\sqrt{109}}{\sqrt{3}} \] Tính giá trị gần đúng: \[ R \approx 6.03~cm \] Kết luận: a) Độ dài cạnh \(a\) là \(\sqrt{109}~cm\). b) \(\cos C \approx 0.91\). c) \(\cos B \approx 0.21\). d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R \approx 6.03~cm\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cosin và định lý tổng ba góc trong tam giác. a) Tính $\cos B$ Theo định lý cosin, ta có: \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \] Thay các giá trị đã cho vào, ta có: \[ 85^2 = 52.1^2 + 54^2 - 2 \cdot 52.1 \cdot 54 \cdot \cos B \] Tính các bình phương: \[ 85^2 = 7225, \quad 52.1^2 \approx 2714.41, \quad 54^2 = 2916 \] Thay vào phương trình: \[ 7225 = 2714.41 + 2916 - 2 \cdot 52.1 \cdot 54 \cdot \cos B \] \[ 7225 = 5630.41 - 5628.8 \cdot \cos B \] Giải phương trình để tìm $\cos B$: \[ 7225 - 5630.41 = -5628.8 \cdot \cos B \] \[ 1594.59 = -5628.8 \cdot \cos B \] \[ \cos B = \frac{1594.59}{-5628.8} \approx -0.283 \] b) Tính góc $A$ Sử dụng định lý cosin cho góc $A$: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \] Thay các giá trị đã cho vào, ta có: \[ 52.1^2 = 85^2 + 54^2 - 2 \cdot 85 \cdot 54 \cdot \cos A \] Tính các bình phương: \[ 52.1^2 \approx 2714.41, \quad 85^2 = 7225, \quad 54^2 = 2916 \] Thay vào phương trình: \[ 2714.41 = 7225 + 2916 - 2 \cdot 85 \cdot 54 \cdot \cos A \] \[ 2714.41 = 10141 - 9180 \cdot \cos A \] Giải phương trình để tìm $\cos A$: \[ 2714.41 - 10141 = -9180 \cdot \cos A \] \[ -7426.59 = -9180 \cdot \cos A \] \[ \cos A = \frac{7426.59}{9180} \approx 0.809 \] Sử dụng bảng giá trị cosin hoặc máy tính để tìm góc $A$: \[ A \approx 32^\circ \] c) Tính góc $B$ Sử dụng giá trị $\cos B \approx -0.283$ để tìm góc $B$: \[ B \approx 126^\circ \] d) Tính góc $C$ Sử dụng định lý tổng ba góc trong tam giác: \[ A + B + C = 180^\circ \] \[ 32^\circ + 126^\circ + C = 180^\circ \] \[ C = 180^\circ - 158^\circ = 22^\circ \] Tuy nhiên, có thể có sai sót trong tính toán góc $C$, cần kiểm tra lại các bước tính toán. Nhưng theo cách tính này, góc $C$ có thể là $38^\circ$ nếu có sai sót trong các bước trước đó. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần a, b, c, d. a) Tính $\sin A$: Ta biết rằng trong tam giác, $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Do đó, ta có: \[ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Suy ra: \[ \sin A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Vậy, $\sin A = \frac{4}{5}$. b) Tính diện tích $S$ của tam giác ABC: Diện tích tam giác có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2}bc\sin A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \frac{4}{5} = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14 \] Vậy, diện tích $S = 14$. c) Tính độ dài cạnh $a$: Sử dụng định lý cosin: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \frac{3}{5} \] \[ a^2 = 49 + 25 - 42 = 32 \] Suy ra: \[ a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Vậy, $a = 4\sqrt{2}$. d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp $r$: Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ được tính bằng công thức: \[ r = \frac{S}{p} \] trong đó $p$ là nửa chu vi của tam giác: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4\sqrt{2} + 7 + 5}{2} \] Tính $p$: \[ p = \frac{4\sqrt{2} + 12}{2} = 2\sqrt{2} + 6 \] Tính $r$: \[ r = \frac{14}{2\sqrt{2} + 6} \] Để đơn giản hóa, nhân cả tử và mẫu với $2\sqrt{2} - 6$: \[ r = \frac{14(2\sqrt{2} - 6)}{(2\sqrt{2} + 6)(2\sqrt{2} - 6)} \] \[ r = \frac{28\sqrt{2} - 84}{8 - 36} = \frac{28\sqrt{2} - 84}{-28} = -\sqrt{2} + 3 \] Vậy, $r = 3 - \sqrt{2}$. Tóm lại, các kết quả là: - a) $\sin A = \frac{4}{5}$ - b) $S = 14$ - c) $a = 4\sqrt{2}$ - d) $r = 3 - \sqrt{2}$ Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý cosin và công thức tính diện tích tam giác. Bước 1: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác Diện tích tam giác $ABC$ được cho là $S = 3\sqrt{3}$. Công thức tính diện tích tam giác theo hai cạnh và góc xen giữa là: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4A \times \sin A \] \[ 3\sqrt{3} = 6A \times \sin A \] \[ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2A} \] Bước 2: Xét các đáp án a) $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A$ Đây là công thức định lý cosin, đúng với mọi tam giác. Tuy nhiên, để xác định tính đúng sai của các đáp án khác, ta cần tìm giá trị của $\cos A$. b) $\sin A = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Từ bước 1, ta có $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2A}$, do đó $\sin A$ không thể âm. Vậy đáp án này sai. c) $\cos A = \frac{1}{2}$ Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Thay $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2A}$ vào: \[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2A}\right)^2 + \cos^2 A = 1 \] \[ \frac{3}{4A^2} + \cos^2 A = 1 \] \[ \cos^2 A = 1 - \frac{3}{4A^2} \] Để $\cos A = \frac{1}{2}$, ta cần kiểm tra: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4A^2} \] \[ \frac{1}{4} = 1 - \frac{3}{4A^2} \] \[ \frac{3}{4A^2} = \frac{3}{4} \] \[ A^2 = 1 \] Vậy $A = 1$ hoặc $A = -1$. Tuy nhiên, $A$ là độ dài cạnh nên $A = 1$. Do đó, $\cos A = \frac{1}{2}$ là đúng. d) $\cos A = -\frac{1}{2}$ Từ kết quả trên, ta đã có $\cos A = \frac{1}{2}$, nên $\cos A = -\frac{1}{2}$ là sai. Kết luận: - Đáp án đúng là a) và c). Câu 1: Để tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), ta có thể sử dụng công thức liên quan đến các cạnh và góc của tam giác. Cụ thể, công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là: \[ R = \frac{abc}{4S} \] trong đó \( a, b, c \) là độ dài các cạnh của tam giác và \( S \) là diện tích của tam giác. Trước tiên, ta cần tính diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \). Sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \widehat{A} \] Với \( AB = 5 \), \( AC = 8 \), và \(\widehat{A} = 60^\circ\), ta có: \[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \] Tiếp theo, ta cần tính độ dài cạnh \( BC \) bằng định lý cosin: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos \widehat{A} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos 60^\circ \] \[ BC^2 = 25 + 64 - 80 \times \frac{1}{2} \] \[ BC^2 = 25 + 64 - 40 = 49 \] \[ BC = \sqrt{49} = 7 \] Bây giờ, ta có độ dài các cạnh \( AB = 5 \), \( AC = 8 \), \( BC = 7 \). Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp: \[ R = \frac{5 \times 8 \times 7}{4 \times 10\sqrt{3}} \] \[ R = \frac{280}{40\sqrt{3}} \] \[ R = \frac{7}{\sqrt{3}} \] Để đưa về dạng phân số không có căn ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}\): \[ R = \frac{7\sqrt{3}}{3} \] Tuy nhiên, để kiểm tra lại kết quả, ta có thể sử dụng công thức khác cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác khi biết một góc và hai cạnh kề: \[ R = \frac{c}{2\sin A} \] Với \( c = BC = 7 \) và \(\sin A = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ R = \frac{7}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} \] Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}\): \[ R = \frac{7\sqrt{3}}{3} \] Kết quả này không khớp với đáp án đã cho, do đó có thể có sai sót trong quá trình tính toán hoặc đáp án đã cho không chính xác. Tuy nhiên, theo cách tính trên, bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(\frac{7\sqrt{3}}{3}\). Câu 2: Để tính độ dài đường trung tuyến \( m_a \) của tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức tính đường trung tuyến trong tam giác. Đường trung tuyến \( m_a \) từ đỉnh \( A \) đến cạnh \( BC \) được tính theo công thức: \[ m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} \] Trong đó: - \( a \) là độ dài cạnh đối diện với đỉnh \( A \), - \( b \) và \( c \) là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác. Theo đề bài, ta có: - \( a = 7 \, \text{cm} \), - \( b = 8 \, \text{cm} \). Tuy nhiên, để áp dụng công thức, ta cần biết độ dài cạnh \( c \). Do đề bài không cung cấp độ dài cạnh \( c \), ta không thể tính chính xác độ dài đường trung tuyến \( m_a \) chỉ với thông tin hiện có. Nếu có thêm thông tin về độ dài cạnh \( c \), ta có thể thay vào công thức trên để tính \( m_a \). Nếu không, bài toán này không thể giải quyết hoàn toàn. Câu 3: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý Apollonius trong tam giác. Định lý Apollonius: Trong tam giác $ABC$, nếu $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, thì ta có: \[ AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{1}{2}BC^2 \] Áp dụng định lý này cho tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm của $BC$, ta có: - $AB = 4$ - $AC = 10$ - $AM = 6$ Thay các giá trị này vào công thức của định lý Apollonius: \[ 4^2 + 10^2 = 2 \times 6^2 + \frac{1}{2}BC^2 \] Tính các bình phương: \[ 16 + 100 = 2 \times 36 + \frac{1}{2}BC^2 \] \[ 116 = 72 + \frac{1}{2}BC^2 \] Chuyển vế và tính toán: \[ 116 - 72 = \frac{1}{2}BC^2 \] \[ 44 = \frac{1}{2}BC^2 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 88 = BC^2 \] Lấy căn bậc hai hai vế để tìm $BC$: \[ BC = \sqrt{88} = \sqrt{4 \times 22} = 2\sqrt{22} \] Vậy độ dài cạnh $BC$ là $2\sqrt{22}$. Câu 4: Để tính chiều cao \(CD\) của tháp, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đoạn thẳng và góc trong tam giác: - Gọi \(C_1\) là chân của tháp trên mặt đất. - \(A_1\) và \(B_1\) là vị trí của giác kế, với \(A_1C_1 = 12~m\) và \(B_1C_1 = 24~m\). - Góc \(\widehat{DA_1C_1} = 49^\circ\) và \(\widehat{DB_1C_1} = 35^\circ\). 2. Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông: - Trong tam giác vuông \(DA_1C_1\), ta có: \[ \tan 49^\circ = \frac{CD}{A_1C_1} \] \[ \Rightarrow CD = A_1C_1 \cdot \tan 49^\circ = 12 \cdot \tan 49^\circ \] - Trong tam giác vuông \(DB_1C_1\), ta có: \[ \tan 35^\circ = \frac{CD}{B_1C_1} \] \[ \Rightarrow CD = B_1C_1 \cdot \tan 35^\circ = 24 \cdot \tan 35^\circ \] 3. Giải hệ phương trình: - Từ hai phương trình trên, ta có: \[ 12 \cdot \tan 49^\circ = 24 \cdot \tan 35^\circ \] - Giải phương trình này để tìm \(CD\). 4. Tính toán: - Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\tan 49^\circ\) và \(\tan 35^\circ\): \[ \tan 49^\circ \approx 1.1504 \] \[ \tan 35^\circ \approx 0.7002 \] - Thay vào phương trình: \[ 12 \cdot 1.1504 = 24 \cdot 0.7002 \] - Tính toán: \[ CD \approx 12 \cdot 1.1504 \approx 13.8048~m \] 5. Kết luận: Chiều cao của tháp \(CD\) là khoảng \(13.8~m\). Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các định lý lượng giác và kiến thức về tam giác vuông. Bước 1: Phân tích bài toán - Gọi \( H \) là chân của ngọn đồi. - Gọi \( A \) là điểm ở chân đồi. - Gọi \( B \) là đỉnh của tháp. - Gọi \( C \) là chân của tháp. Chúng ta có: - \( BC = 100 \) m (chiều cao của tháp). - Góc \( \angle BAC = 30^\circ \). - Góc \( \angle BCA = 60^\circ \). Bước 2: Sử dụng định lý lượng giác Xét tam giác vuông \( \triangle ABC \) với: - \( \angle BAC = 30^\circ \) - \( \angle BCA = 60^\circ \) Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), ta có: - \( \tan \angle BAC = \frac{BC}{AC} \) Do đó: \[ \tan 30^\circ = \frac{100}{AC} \] Vì \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{AC} \] Suy ra: \[ AC = 100 \sqrt{3} \] Bước 3: Tính chiều cao \( AH \) của ngọn đồi Xét tam giác vuông \( \triangle AHC \) với: - \( \angle AHC = 60^\circ \) Ta có: - \( \tan \angle AHC = \frac{AH}{AC} \) Do đó: \[ \tan 60^\circ = \frac{AH}{100\sqrt{3}} \] Vì \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), ta có: \[ \sqrt{3} = \frac{AH}{100\sqrt{3}} \] Suy ra: \[ AH = 100\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 300 \] Vậy chiều cao \( AH \) của ngọn đồi là 300 m. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần xác định khoảng cách giữa hai chiếc tàu sau 1 giờ di chuyển. 1. Xác định vị trí của hai tàu sau 1 giờ: - Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 20 km/h, sau 1 giờ sẽ đi được 20 km. - Tàu thứ hai chạy với tốc độ 30 km/h, sau 1 giờ sẽ đi được 30 km. 2. Sử dụng định lý cosin để tính khoảng cách giữa hai tàu: Giả sử hai tàu xuất phát từ điểm \( A \), sau 1 giờ, tàu thứ nhất ở điểm \( B \) và tàu thứ hai ở điểm \( C \). Góc giữa hai hướng đi của hai tàu là \( 60^\circ \). Theo định lý cosin trong tam giác \( ABC \): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ) \] Thay các giá trị vào: \[ AB = 20 \, \text{km}, \quad AC = 30 \, \text{km}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] \[ BC^2 = 20^2 + 30^2 - 2 \cdot 20 \cdot 30 \cdot \frac{1}{2} \] \[ BC^2 = 400 + 900 - 600 \] \[ BC^2 = 700 \] \[ BC = \sqrt{700} = \sqrt{100 \times 7} = 10\sqrt{7} \, \text{km} \] Vậy, sau 1 giờ, khoảng cách giữa hai tàu là \( 10\sqrt{7} \) km.