giải cho tôi

Câu 61: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm hiểu về vị trí của điểm M trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho \( MB = 2MC \). Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện Giả sử độ dài đoạn thẳng \( BC = a \). Vì \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( BC \), ta có thể đặt \( MB = 2x \) và \( MC = x \) với \( x > 0 \). Bước 2: Thiết lập phương trình Theo giả thiết, \( MB = 2MC \), do đó: \[ MB = 2MC \implies 2x = 2x \] Tổng độ dài của \( MB \) và \( MC \) phải bằng độ dài của \( BC \): \[ MB + MC = BC \implies 2x + x = a \] Từ đó, ta có phương trình: \[ 3x = a \] Bước 3: Giải phương trình Giải phương trình trên để tìm \( x \): \[ x = \frac{a}{3} \] Bước 4: Tìm độ dài \( MB \) và \( MC \) Với \( x = \frac{a}{3} \), ta có: - \( MB = 2x = 2 \times \frac{a}{3} = \frac{2a}{3} \) - \( MC = x = \frac{a}{3} \) Kết luận: Điểm \( M \) chia đoạn \( BC \) theo tỉ lệ \( MB:MC = 2:1 \). Cụ thể, \( MB = \frac{2a}{3} \) và \( MC = \frac{a}{3} \). Điều này có nghĩa là điểm \( M \) nằm trên đoạn \( BC \) và chia đoạn này thành hai phần với tỉ lệ 2:1. Câu 58: Để giải bài toán này, ta cần biểu diễn vector $\overrightarrow{IC}$ theo các vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, dựa vào điều kiện $\overrightarrow{IA} = -2\overrightarrow{IB}$. Bước 1: Phân tích điều kiện $\overrightarrow{IA} = -2\overrightarrow{IB}$ Ta có: \[ \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{B} \] Từ điều kiện $\overrightarrow{IA} = -2\overrightarrow{IB}$, ta có: \[ \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A} = -2(\overrightarrow{I} - \overrightarrow{B}) \] Giải phương trình trên: \[ \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A} = -2\overrightarrow{I} + 2\overrightarrow{B} \] Chuyển vế và nhóm các vector $\overrightarrow{I}$ lại: \[ \overrightarrow{I} + 2\overrightarrow{I} = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} \] \[ 3\overrightarrow{I} = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B} \] Bước 2: Biểu diễn $\overrightarrow{IC}$ Ta có: \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{I} \] Thay $\overrightarrow{I}$ từ kết quả trên vào: \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{C} - \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{B}\right) \] Phân tích: \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A} - \frac{2}{3}\overrightarrow{B} \] Biểu diễn $\overrightarrow{C}$, $\overrightarrow{A}$, và $\overrightarrow{B}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{C} - \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) - \frac{2}{3}\overrightarrow{B} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{B} - \frac{2}{3}\overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A} - \frac{1}{3}\overrightarrow{B} \] Biểu diễn $\overrightarrow{C}$ theo $\overrightarrow{A}$ và $\overrightarrow{B}$: \[ \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC} \] Thay vào: \[ \overrightarrow{IC} = (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC}) - \frac{1}{3}\overrightarrow{A} - \frac{1}{3}\overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{IC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \] Kết luận Vậy, biểu diễn $\overrightarrow{IC}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{IC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{IC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. Câu 59: Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích hình học của hình chữ nhật và các điểm trung điểm được cho. 1. Xác định các điểm và trung điểm: - Gọi tọa độ của các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_1) \), \( C(x_2, y_2) \), \( D(x_1, y_2) \). - Tâm O của hình chữ nhật là trung điểm của AC và BD, do đó tọa độ của O là \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \). 2. Xác định trung điểm M của OA: - Tọa độ của M là trung điểm của O và A, do đó: \[ M\left( \frac{\frac{x_1 + x_2}{2} + x_1}{2}, \frac{\frac{y_1 + y_2}{2} + y_1}{2} \right) = \left( \frac{3x_1 + x_2}{4}, \frac{3y_1 + y_2}{4} \right) \] 3. Xác định trung điểm N của CD: - Tọa độ của N là trung điểm của C và D, do đó: \[ N\left( \frac{x_2 + x_1}{2}, \frac{y_2 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, y_2 \right) \] 4. Phân tích yêu cầu của bài toán: - Bài toán không đưa ra yêu cầu cụ thể về việc tính toán hay chứng minh gì thêm, chỉ yêu cầu xác định các trung điểm M và N. 5. Kết luận: - Tọa độ của M là \( \left( \frac{3x_1 + x_2}{4}, \frac{3y_1 + y_2}{4} \right) \). - Tọa độ của N là \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, y_2 \right) \). Với các bước trên, chúng ta đã xác định được tọa độ của các điểm M và N theo tọa độ của các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Câu 62: Để phân tích vector \(\overrightarrow{GA}\) theo \(\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{NC}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vector cơ bản: - Vì \(N\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] - Trọng tâm \(G\) của tam giác \(\Delta ABC\) được xác định bởi: \[ \overrightarrow{GA} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) \] 2. Biểu diễn \(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GC}\): - Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có: \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \] Do đó, \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\). - Suy ra: \[ \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} \] 3. Biểu diễn \(\overrightarrow{GA}\) theo \(\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{NC}\): - Từ \(\overrightarrow{GA} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})\), thay \(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GC}\) vào: \[ \overrightarrow{GA} = \frac{1}{3}((\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC})) \] \[ \overrightarrow{GA} = \frac{1}{3}(2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] - Giải phương trình trên: \[ 3\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{GA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] - Biểu diễn \(\overrightarrow{GA}\) theo \(\overrightarrow{BD}\) và \(\overrightarrow{NC}\): \[ \overrightarrow{GA} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BD} + \frac{2}{3} \overrightarrow{NC} \] 4. Kết luận: Vậy, \(\overrightarrow{GA} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BD} + \frac{2}{3} \overrightarrow{NC}\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~\overrightarrow{GA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{NC}.\) Câu 60: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các vectơ liên quan đến các điểm I và J trong tam giác ABC. 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{IB}\): Theo đề bài, \(\overrightarrow{A} = 2\overrightarrow{IB}\). Điều này có nghĩa là điểm I chia đoạn AB theo tỉ lệ 2:1, tức là: \[ \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A} \] 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AJ}\): Theo đề bài, \(3\overrightarrow{JA} + 2\overrightarrow{JC} = \overrightarrow{0}\). Điều này có nghĩa là: \[ 3\overrightarrow{JA} = -2\overrightarrow{JC} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{JA} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{JC} \] Điều này cho thấy điểm J chia đoạn AC theo tỉ lệ 2:3. 3. Xác định vectơ \(\overrightarrow{LJ}\): Để tìm \(\overrightarrow{LJ}\), chúng ta cần biểu diễn \(\overrightarrow{AJ}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Từ \(\overrightarrow{JA} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{JC}\), ta có: \[ \overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \] Do đó, \(\overrightarrow{AJ}\) có thể được viết lại như sau: \[ \overrightarrow{AJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] Điều này tương ứng với đáp án D: \(\overrightarrow{AJ} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}\). Vậy, hệ thức đúng là: \[ D.~\overrightarrow{AJ} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB} \]