Giải bài tập và d 3.2. XX,,Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M trong mỗi trường hợp sau:,$ extcircled{(1)}~\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$,$ extcircled2~\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0$,$(3)|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|$, Lời giải

Question

Giải bài tập và    d  3.2. XX,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/6a01af2afb63493e86e075f5b571d40a.jpg />,Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M trong mỗi trường hợp sau:,$	extcircled{(1)}~\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$,$	extcircled2~\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow0$,$(3)|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|$,&gt; Lời giải

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ xét từng trường hợp một cách chi tiết.

Trường hợp 1: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}$

Ta có:
$$
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}
$$

Rút gọn, ta được:
$$
2\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}
$$

Điều này có nghĩa là $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$, tức là điểm $M$ trùng với điểm $B$.

Kết luận: Tập hợp điểm $M$ là điểm $B$.

Trường hợp 2: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$

Điều này có nghĩa là tổng ba vectơ $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$, và $\overrightarrow{MC}$ bằng vectơ không. Điều này chỉ xảy ra khi $M$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Kết luận: Tập hợp điểm $M$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Trường hợp 3: $|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}|$

Ta có:
$$
|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}|
$$

Đặt $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{v}$, ta có:
$$
|2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = |\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}|
$$

Bình phương hai vế, ta được:
$$
(2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = (\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v})
$$

Tính từng vế:
- Vế trái: $4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$
- Vế phải: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + 4\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}$

So sánh hai vế, ta có:
$$
4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
$$

Rút gọn, ta được:
$$
3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
$$

Điều này có nghĩa là $|\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}|$, tức là $M$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Kết luận: Tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.