Giải bài tập

Để giải bài toán này, ta sẽ xét từng trường hợp một cách chi tiết. Trường hợp 1: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\) Ta có: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} \] Rút gọn, ta được: \[ 2\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\), tức là điểm \(M\) trùng với điểm \(B\). Kết luận: Tập hợp điểm \(M\) là điểm \(B\). Trường hợp 2: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}\) Điều này có nghĩa là tổng ba vectơ \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB}\), và \(\overrightarrow{MC}\) bằng vectơ không. Điều này chỉ xảy ra khi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Kết luận: Tập hợp điểm \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trường hợp 3: \(|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}|\) Ta có: \[ |2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}| \] Đặt \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{v}\), ta có: \[ |2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = |\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}| \] Bình phương hai vế, ta được: \[ (2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = (\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}) \] Tính từng vế: - Vế trái: \(4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}\) - Vế phải: \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + 4\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}\) So sánh hai vế, ta có: \[ 4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \] Rút gọn, ta được: \[ 3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \] Điều này có nghĩa là \(|\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}|\), tức là \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\). Kết luận: Tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).