giải cho tôi

Câu 63: Để phân tích $\overrightarrow{CI}$ theo $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$, ta cần tìm mối quan hệ giữa các vectơ này. Trước tiên, ta có điều kiện $\overrightarrow{IA} = 3\overrightarrow{IB}$. Điều này có nghĩa là điểm $I$ chia đoạn $AB$ theo tỉ lệ $3:1$. Cụ thể, $I$ nằm trên đoạn $AB$ và chia đoạn $AB$ thành hai phần với tỉ lệ $3:1$, tức là: \[ \overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{IB} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \] Bây giờ, ta cần phân tích $\overrightarrow{CI}$ theo $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$. Ta có: \[ \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AI} \] Thay $\overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ vào, ta được: \[ \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \] Biểu diễn $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \] Thay vào phương trình của $\overrightarrow{CI}$: \[ \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CA} + \frac{3}{4}(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) \] Rút gọn: \[ \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{CB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{CA} \] \[ \overrightarrow{CI} = \left(1 - \frac{3}{4}\right)\overrightarrow{CA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{CB} \] \[ \overrightarrow{CI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} + \frac{3}{4}\overrightarrow{CB} \] Nhân cả hai vế với 2 để đưa về dạng của các đáp án: \[ 2\overrightarrow{CI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \frac{3}{2}\overrightarrow{CB} \] \[ \overrightarrow{CI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} - 3\overrightarrow{CB}) \] Vậy đáp án đúng là A. $\overrightarrow{CI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} - 3\overrightarrow{CB})$. Câu 64: Để giải bài toán này, ta cần tìm vectơ \(\overrightarrow{AM}\) dựa trên điều kiện đã cho: \(4\overrightarrow{BM} - 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\). Bước 1: Tìm vectơ \(\overrightarrow{BM}\) Từ phương trình \(4\overrightarrow{BM} - 3\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}\), ta có: \[ 4\overrightarrow{BM} = 3\overrightarrow{BC} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \] Bước 2: Biểu diễn \(\overrightarrow{BC}\) qua \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) Ta có: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] Thay vào biểu thức của \(\overrightarrow{BM}\): \[ \overrightarrow{BM} = \frac{3}{4}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] Bước 3: Tìm vectơ \(\overrightarrow{AM}\) Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \] Thay \(\overrightarrow{BM}\) vào: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{AM} = \left(1 - \frac{3}{4}\right)\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} \] Vậy đáp án đúng là \(D.~\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\). Câu 65: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng kiến thức về vectơ và trung điểm. 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{ID}\): Vì \(I\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] Vì \(D\) là trung điểm của \(CI\), ta có: \[ \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CI} \] Mà \(\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}\), nên: \[ \overrightarrow{CD} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \] 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{BD}\): Ta có: \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \] Thay \(\overrightarrow{CD}\) vào, ta được: \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \right) \] Biểu diễn \(\overrightarrow{BC}\) qua \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] Thay vào biểu thức của \(\overrightarrow{BD}\): \[ \overrightarrow{BD} = (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \right) \] \[ = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} (-\overrightarrow{AC}) + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \] \[ = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \] \[ = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \] 3. Kết luận: Đẳng thức đúng là: \[ \overrightarrow{BD} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \] Vậy đáp án đúng là \(B\).